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| Aufgabe | Beweisen Sie die Gültigkeit der Produktformel
[mm] \produkt_{k=2}^{n}\bruch{k^3-1}{k^3+1}=\bruch{2}{3}(1+\bruch{1}{n*(n+1)})
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] n\ge{2} [/mm] mittels Vollständiger Induktion. |
Hallo Leute!
Ich brauch mal eure Hilfe, weil ich mir grade tierisch den Wolf ärger.
Ich bekomme die Umformung der Brüche einfach nicht richtig hin.
Ich habe als erstes geprüft, ob es für n=2 gilt, was auch der Fall war.
Als nächstes habe ich geschrieben.
[mm] \produkt_{k=2}^{n+1}\bruch{k^3-1}{k^3+1}=\produkt_{k=2}^{n}\bruch{k^3-1}{k^3+1}*\bruch{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}=\bruch{2}{3}(1+\bruch{1}{n*(n+1)})*\bruch{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}
[/mm]
Mein Ziel ist es jetzt, die letzten beiden Terme in
[mm] \bruch{2}{3}(1+\bruch{1}{(n+1)*(n+2)})
[/mm]
umzuformen.
Ich habe jetzt original 14 Seiten Papier verballert, und bin einfach nicht auf ein passendes Ergebnis gekommen. Mit Ausklammern, Ausrechnen, Erweitern.. es will einfach nicht..
Hat vielleicht jemand ne Idee?
(Habe ich eventuell am Anfang schon einen Fehler gemacht?)
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AnalysisKampfFlo!
Dein Anfang ist schon gut. Bringe nun den Term innerhalb der Klammern auf einen Bruchstrich und multipliziere die [mm] $(...)^3$-Terme [/mm] im letzten Bruch aus. Damit erhältst Du:
$$... \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\bruch{n^2+n+1}{n*(n+1)}*\bruch{n^3+3n^2+3n}{n^3+3n^2+3n+2}$$
[/mm]
Nun kannst Du schon mal $n_$ kürzen (im letzen Zähler ausklammern).
Und es gilt: [mm] $\left(n^3+3n^2+3n+2\right) [/mm] \ = \ [mm] (n+2)*\left(n^2+n+1\right)$ [/mm] .
Kommst Du nun weiter?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
vielen Dank für die Antwort. Das hat uns schon viel weiter gebracht und wir haben die Aufgabe gelöst. Aber eine Frage habe ich dennoch:
Wie erkennt man am schnellsten, dass [mm]n^{3}+3n^{2}+3n+2=(n+2)\cdot (n^{2}+n+1)[/mm] ist?
Jetzt wo Du es geschrieben hattest, habe ich eine Polynomdivision gemacht und bin natürlich auch zu den Ergebnis gekommen. Aber kann ich irgendwie auch ohne die P-Division so was erkennen?
Danke & Grüße
Serhat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
es gibt bei solchen Gleichheiten einen (meiner Ansicht nach altbewährten) Trick. Du setzt die Formel nach dem Induktionssschritt = der zu beweisenden Formel und formst dann solange äquivalent um, bis eine offensichtliche Gleichheit entsteht.
Machen wir es mal an dem einfachen Beispiel [mm] $\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] klar.
Im Induktionsschritt ist zu zeigen, dass [mm] $\sum_{k=1}^{n+1} k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=:(\*)$ [/mm] ist.
Im Induktionsschritt steht nach benutzen der I.V. dann zunächst dort:
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1} k=\left(\sum_{k=1}^n k\right)+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=:(\*\*)$
[/mm]
Normalerweise rechnet man nun so weiter, dass man von [mm] $(\*\*)$ [/mm] zu der zu beweisenden Behauptung [mm] $(\*)$ [/mm] gelangt (indem man bei [mm] $(\*\*)$ [/mm] dann $(n+1)$ vorklammert etc.). Hier kann man aber auch so vorgehen:
Es ist nun noch [mm] $(\*)=(\*\*)$ [/mm] zu beweisen, d.h., wir werden
[mm] $\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$ [/mm]
zu beweisen haben:
Falls jemand diese offensichtliche Gleichheit noch nicht einsieht, kann man das z.B. so begründen:
[mm] $\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{n+2}{2}=\frac{n}{2}+1$ [/mm] (beachte: $n+1 [mm] \not=0$)
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{n}{2}+\frac{2}{2}=\frac{n}{2}+1$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 0=0$
Die zu beweisende Behauptung [mm] $(\*)=(\*\*)$ [/mm] folgt hier also durch Verfolgen der Pfeile [mm] $\Leftarrow$ [/mm] aus der letzten offensichtlich wahren Aussage $0=0$.
Und genauso kannst Du Dir das an Deinem Beispiel überlegen:
Was steht im Induktionsschritt nach dem Einsetzen der I.V. dort. Und dieser Ausdruck soll dann laut Behauptung was ergeben? Das gilt genau dann, wenn folgende Gleichheit erfüllt ist:
...
Und dann hast Du einfach nur noch den Wahrheitsgehalt der letzten Gleichung nachzuweisen (z.B. mittels Äquivalenzumformungen, bis man zu einer wahren Aussage gelangt. Wichtig ist halt immer generell, dass man die Behauptung aus einer wahren Aussage folgert, und nicht nur aus der Behauptung eine wahre Aussage folgert....)
Also hier war das, wenn ich korrekt nachgeguckt habe:
Es ist noch
[mm] $\bruch{2}{3}\left(1+\bruch{1}{n\cdot{}(n+1)}\right)\cdot{}\bruch{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}=\bruch{2}{3}\left(1+\bruch{1}{(n+1)\cdot{}(n+2)}\right) [/mm] $ zu beweisen. Diese Gleichung ist äquivalent zu:
[mm] $\left(1+\bruch{1}{n\cdot{}(n+1)}\right)\cdot{}\bruch{(n+1)^3-1}{(n+1)^3+1}=1+\bruch{1}{(n+1)\cdot{}(n+2)}$
[/mm]
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.
P.S.:
Meine obige Antwort ist so zu verstehen, dass ich dachte, dass die Frage:
> Wie erkennt man am schnellsten, dass
> [mm] $n^{3}+3n^{2}+3n+2=(n+2)\cdot (n^{2}+n+1)$ [/mm] ist?
eher darauf abzielt, wie man erkennt, dass man diese Gleichheit benötigt. Um diese Gleichheit einzusehen, brauchst Du natürlich nicht
[mm] $(n^{3}+3n^{2}+3n+2):(n+2)$
[/mm]
mittels Polynomdivision auszurechnen. Diese Gleichheit sieht man eher schnellstens durch Ausrechnen der rechten Seite ein:
[mm] $(n+2)\cdot (n^{2}+n+1)=n^3+2n^2+n^2+2n+n+2=n^3+3n^2+3n+2$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Di 12.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Serhat!
Ein weiterer Tipp: ihr wisst doch, wo ihr mit dem Induktionsschluss letztendlich landen wollt. Von daher ist es doch legitim, auf dieses gewünschte Ziel zu schielen und dann entsprechende Zerlegungen vorzunehmen.
Hier war dann auch mein Versuch, ob $(x+2)_$ im ausmuliplizierten Zustand enthalten ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 12.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Diese Identität: [mm] n^3+3n^2+3*n+2 [/mm] sieht man auch schnell durch das Prinzip fallender Polynome:
[mm] n^3+n^2+n+2n^2+2n+2=n(n^2+n+1)+2(n^2+n+2)=(n+2)(n^2+n+1).
[/mm]
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Nur als Nebenbemerkung gedacht.
Hier liegt ein Teleskop-Produkt vor:
[mm]\frac{k^3-1}{k^3+1} = \frac{(k-1)(k^2+k+1)}{(k+1)(k^2-k+1)} = \frac{a_{k-1}}{a_{k+1}} \cdot \frac{b_{k+1}}{b_k}[/mm] mit [mm]a_k = k[/mm] und [mm]b_k = k^2 - k +1[/mm]
Es folgt:
[mm]\prod_{k=2}^n \frac{k^3-1}{k^3+1} = \left( \prod_{k=2}^n \frac{a_{k-1}}{a_{k+1}} \right) \cdot \left( \prod_{k=2}^n \frac{b_{k+1}}{b_k} \right) = \frac{a_1 a_2}{a_n a_{n+1}} \cdot \frac{b_{n+1}}{b_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{n^2+n+1}{n(n+1)} = \frac{2}{3} \left( 1 + \frac{1}{n(n+1)} \right)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
An Leopold_Gast:
Ich finde deinen Weg sehr raffiniert! Respekt! Davon kann man wenigstens was lernen, statt diese dämlichen Induktionsbeweise die immer nach schema f ablaufen.
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