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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:10 So 29.01.2006 | | Autor: | nevinpol |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Identität.
Es gelte [mm] $a_0 [/mm] = 0$, [mm] $a_1=1$, $a_i=a_{i-1} [/mm] + [mm] a_{i-2}$ [/mm] f"ur alle $i [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $i\geq2$,
[/mm]
dann gilt für alle $n [mm] \in \mathbb{N}$
[/mm]
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac {(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5} }$ [/mm] |
Hallo,
zunächst verstehe ich eine Sache nicht: Was bedeutet Identität. Natürlich verstehe ich die Aufgabenstellung auch ohne zu Wissen was Identität ist, aber trotzdem; es wäre nett, wenn jemand mich aufklären könnte.
Dann werde ich erstmal die Lösung vorstellen und dann sagen, welchen Teil der Lösung ich nicht verstehe.
Wir setzen: $x:= [mm] \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ [/mm] und [mm] $y:=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
[/mm]
Dann gilt auch: [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac {(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}} \Rightarrow a_n [/mm] = [mm] \frac {x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] \bigskip \textbf{Indukstionsanfang:} $a_0=1, a_1=1$
[/mm]
[mm] $a_0 [/mm] = [mm] \frac {(1+\sqrt{5})^0 - (1-\sqrt{5})^0}{2^0 \cdot \sqrt{5} }$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0 = [mm] \frac [/mm] {1 - 1}{1 [mm] \cdot \sqrt{5}} [/mm] $
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0 = [mm] \frac {0}{\sqrt{5}} [/mm] $
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0=0$
[mm] \Rightarrow $a_0 [/mm] = [mm] \frac{x^0-y^0}{\sqrt{5}} [/mm] = 0$
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] \frac {(1+\sqrt{5})^1 - (1-\sqrt{5})^1}{2^1 \cdot \sqrt{5} }$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 1 = [mm] \frac [/mm] {1 + [mm] \sqrt{5} [/mm] - 1 + [mm] \sqrt{5}}{2 \cdot \sqrt{5} }$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 1 = [mm] \frac [/mm] {2 [mm] \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot \sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 1 = 1$
[mm] \Rightarrow $a_1 [/mm] = [mm] \frac{x^1-y^1}{\sqrt{5}} [/mm] = 1$
[mm] \textbf{Induktionsannahme:}
[/mm]
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac {(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}}$
[/mm]
bzw. [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac {x^n - y^n}{\sqrt{5}}$ [/mm] mit $x:= [mm] \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ [/mm] und [mm] $y:=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
[/mm]
und [mm] $a_0 [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow \frac{x^0 -y^0}{\sqrt{5}} [/mm] = 0$
und [mm] $a_1 [/mm] = 1 [mm] \Leftrightarrow \frac{x^1 -y^1}{\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \frac{2\cdot\sqrt{5}}{2\cdot\sqrt{5}} [/mm] = 1$
[mm] \textbf{Induktionsschritt:} [/mm] $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
Nach Definition: [mm] $a_n [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}$
[/mm]
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2} [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x^{n-1} - y^{n-1}}{\sqrt{5}} [/mm] + [mm] \frac{x^{n-2} - y^{n-2}}{\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x^{n-1} - y^{n-1} + x^{n-2} - y^{n-2}}{\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x^{n-1} + x^{n-2} - y^{n-1} - y^{n-2}}{\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
Ab hier verstehe ich es nicht mehr
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x^{n-2} \cdot (x+1) - y^{n-2} \cdot (y+1)}{\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $x^2 [/mm] = [mm] (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 [/mm] = [mm] \frac{1+ 2 \cdot \sqrt{5}+5}{4} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1+ \sqrt{5}}{2} [/mm] = x+1$
[mm] $y^2$ [/mm] ist analog zu [mm] $x^2$:
[/mm]
[mm] $y^2 [/mm] = [mm] (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 [/mm] = [mm] \frac{1+ 2 \cdot \sqrt{5}+5}{4} [/mm] = 1 + [mm] \frac{1+ \sqrt{5}}{2} [/mm] = y+1$
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x^{n-2} \cdot (x+1) - y^{n-2} \cdot (y+1)}{\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x^{n-2} \cdot x^2 - y^{n-2} \cdot y^2}{\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$
[/mm]
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Hallo!
Also, ich habe mir das jetzt nur ab dem Teil angeguckt, den du nicht verstehst. Wieso und warum das so gemacht wird und nicht anders, kann ich dir nicht sagen, aber ich kann dir sagen, was in den einzelnen Rechenschritten gemacht wird.
> Beweisen Sie folgende Identität.
> Es gelte [mm]a_0 = 0[/mm], [mm]a_1=1[/mm], [mm]a_i=a_{i-1} + a_{i-2}[/mm] f"ur alle [mm]i \in \mathbb{N}[/mm]
> mit [mm]i\geq2[/mm],
>
> dann gilt für alle [mm]n \in \mathbb{N}[/mm]
> [mm]a_n = \frac {(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5} }[/mm]
>
> Hallo,
>
> zunächst verstehe ich eine Sache nicht: Was bedeutet
> Identität. Natürlich verstehe ich die Aufgabenstellung auch
> ohne zu Wissen was Identität ist, aber trotzdem; es wäre
> nett, wenn jemand mich aufklären könnte.
>
> Dann werde ich erstmal die Lösung vorstellen und dann
> sagen, welchen Teil der Lösung ich nicht verstehe.
>
> Wir setzen: [mm]x:= \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/mm] und
> [mm]y:=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/mm]
>
> Dann gilt auch: [mm]a_n = \frac {(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}} \Rightarrow a_n = \frac {x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\bigskip \textbf{Indukstionsanfang:}[/mm] [mm]a_0=1, a_1=1[/mm]
>
> [mm]a_0 = \frac {(1+\sqrt{5})^0 - (1-\sqrt{5})^0}{2^0 \cdot \sqrt{5} }[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 0 = \frac {1 - 1}{1 \cdot \sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 0 = \frac {0}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 0=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]a_0 = \frac{x^0-y^0}{\sqrt{5}} = 0[/mm]
>
> [mm]a_1 = \frac {(1+\sqrt{5})^1 - (1-\sqrt{5})^1}{2^1 \cdot \sqrt{5} }[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 1 = \frac {1 + \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5}}{2 \cdot \sqrt{5} }[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 1 = \frac {2 \cdot \sqrt{5}}{2 \cdot \sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow 1 = 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]a_1 = \frac{x^1-y^1}{\sqrt{5}} = 1[/mm]
>
> [mm]\textbf{Induktionsannahme:}[/mm]
>
> [mm]a_n = \frac {(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}}[/mm]
>
> bzw. [mm]a_n = \frac {x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm] mit [mm]x:= \frac{1+\sqrt{5}}{2}[/mm]
> und [mm]y:=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/mm]
>
> und [mm]a_0 = 0 \Leftrightarrow \frac{x^0 -y^0}{\sqrt{5}} = 0[/mm]
>
> und [mm]a_1 = 1 \Leftrightarrow \frac{x^1 -y^1}{\sqrt{5}} = \frac{2\cdot\sqrt{5}}{2\cdot\sqrt{5}} = 1[/mm]
>
> [mm]\textbf{Induktionsschritt:}[/mm] [mm]n \mapsto n+1[/mm]
>
> [mm]a_n = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> Nach Definition: [mm]a_n = a_{n-1} + a_{n-2}[/mm]
>
> [mm]a_n = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow a_{n-1} + a_{n-2} = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x^{n-1} - y^{n-1}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{n-2} - y^{n-2}}{\sqrt{5}} = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x^{n-1} - y^{n-1} + x^{n-2} - y^{n-2}}{\sqrt{5}} = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x^{n-1} + x^{n-2} - y^{n-1} - y^{n-2}}{\sqrt{5}} = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> Ab hier verstehe ich es nicht mehr
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x^{n-2} \cdot (x+1) - y^{n-2} \cdot (y+1)}{\sqrt{5}} = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
Hier ist einfach nur [mm] x^{n-2} [/mm] ausgeklammert, denn das, was da jetzt steht, heißt doch nichts anderes als [mm] x^{n-2}*x+x^{n-2}=x^{n-2+1}+x^{n-2}=x^{n-1}+x^{n-2} [/mm] und das ist das, was in der Zeile drüber steht.  Und das Gleiche wurde mit dem y gemacht.
> [mm]x^2 = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1+ 2 \cdot \sqrt{5}+5}{4} = 1 + \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = x+1[/mm]
Das erste "=" ist "Definition", das zweite ist Binomische Formel. Und für das dritte wurde folgendermaßen gekürzt: [mm] \bruch{1+2\wurzel{5}+5}{4}=\bruch{4+2+2\wurzel{5}}{4}=\bruch{4}{4}+\bruch{2+2\wurzel{5}}{4}=1+\bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und das letzte "=" ist wieder "Definition".
> [mm]y^2[/mm] ist analog zu [mm]x^2[/mm]:
>
> [mm]y^2 = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1+ 2 \cdot \sqrt{5}+5}{4} = 1 + \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = y+1[/mm]
Hier ist das Gleiche mit y gemacht worden.
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x^{n-2} \cdot (x+1) - y^{n-2} \cdot (y+1)}{\sqrt{5}} = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
Das ist die Gleichung von oben, bevor du es nicht mehr verstanden hast. 
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x^{n-2} \cdot x^2 - y^{n-2} \cdot y^2}{\sqrt{5}} = \frac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}[/mm]
Und dort wurden nun unsere "Ergebnisse" von x+1 und y+1 einfach eingesetzt.
Nun alles klar oder willst du noch etwas wissen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 So 29.01.2006 | | Autor: | nevinpol |
Hallo Bastiane,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich habe es verstanden, super erklärt. Manchmal sitzt man an einer Aufgabe und versucht immer durch den gleichen Weg zur Lösung zu verlangen und ignoriert unbewusst andere mögliche Ideen.. Deswegen ist dieser Forum super, da man auch mal frisches Blut ins Gehirn gepumpt bekommt, also neue Lösungswege und Denkweisen..
Schöne Grüße
Nevinpol
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