Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Hallo! Hat jemand ne Idee um mein Hirn etwas anzukurbeln? Ich komm mir schon vor wie unter Schafen!
Was ist in folgendem Beweis falsch?
"Gibt es in einer Herde von N Schafen ein schwarzes Schaf, so sind alle N Schafe schwarz."
Induktionsbeweis: Die Aussage ist für N = 1 offensichtlich wahr.
Wir nehmen nun an, die Aussage sei wahr fÄur ein gegebenes N [mm] \ge [/mm] 1. Dann können wir in
einer Herde aus N + 1 Schafen mit einem schwarzen Schaf eine Unterherde aus N Schafen
auswÄahlen, welche das schwarze Schaf enthäalt. Nach Induktionsannahme sind in dieser Unterherde
alle Schafe schwarz. Um zu zeigen, dass auch das letzte verbleibende Schaf schwarz
ist, genüugt es, eine andere Unterherde von N Schafen auszuwÄahlen, welche das letzte Schaf
enthÄalt. Die Äubrigen Schafe dieser Unterherde sind schwarz. Also sind wegen der Induktionsannahme alle Schafe schwarz.
Viele Grüße
Kübi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kuebi!
Meiner Meinung ist der Hinkefuß dieses "Beweises" der Induktionsanfang.
Denn der Start bei $N \ =\ 1$ ist ja nicht ganz sauber, da man bei einem Schaf wohl kaum von einer Herde reden kann.
Bei $N \ = \ 2$ scheitert der Induktionsanfang (= Induktionsverankerung) ja bereits, da hier sowohl ein schwarzes als auch ein weißes Schaf in Ruhe ihr Gras fressen können.
Und ohne Induktionsverankerung ist der restliche "Beweis" dann auch hinfällig ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Kuebi |
Aber irgendwie wird ja angenommen, dass die Aussage für ein gegebenes N [mm] \ge [/mm] 1 wahr ist!
Schließt das nicht aus, dass ein schwarzes und ein weißes Schaf in Ruhe grasen? Was eigentlich ja Schwachsinn wäre! *g*
Grüße
Kübi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andy!
Die Antwort ist bereits gegeben, aber ich will es mal ein wenig prägnanter (nicht präziser) formulieren. Zwar ist der Induktionsanfang korrekt, aber der Induktionsschluss nicht (genauer ist der Schluss von $n=2$ auf $n=3$ falsch), da sich eine zweielementige Menge nicht in zwei nichtdisjunkte nichtleere echte Teilmengen aufteilen lässt.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Der Beweis stimmt für n=1 Schafe, sowie für n>2.
Macht man des Induktionsschritt von n auf (n+1), so schlägt er für n=1 (also (n+1)=(1+1), d.h. n=2) fehl.
Es fehlt in diesem Fall ein drittes Vergleichsschaf, um festzustellen, ob das (n+1)te- Schaf (also das zweite) schwarz ist oder nicht.
Für n=1 stimmt die Behauptung, da in einer Herde, wenn ein Schaf schwarz ist, alle Schafe schwarz sind (Vorraussetzung). Da nur ein Schaf in der Herde ist, muss dieses schwarz sein.
Für n+1(für n=1, also 2 Schafe) ist dies nicht der Fall, denn wir wissen, dass ein Schaf in der Herde schwarz ist. Über das andere Schaf wissen wir allerdings nichts.
Wenn wir nun N Schafe (also das schwarze Schaf) aus der Herde herausnehmen, so ist die herausgenommene Herde schwarz, da ein Schaf aus dieser Herde schwarz ist (die Herde besteht ja nur aus dem schwarzen Schaf).
Nun legen wir das schwarze Schaf zurück und nehmen eine andere Herde von N Schafen (die nur aus dem (n+1)ten Schaf besteht) heraus. Nun ist die "daringelassene" Herde mit dem schwarzen Schaf nach Annahme schwarz, über die Herde mit dem (n+1)ten Schaf können wir aber keine Aussage machen, da ein drittes Vergleichsschaf fehlt.
Da wir diesen Vorgang nach Annahme nur für N Schafe machen dürfen können wir also nicht sagen, dass das (n+1)te Schaf schwarz ist, weil N Schafe schwarz sind.
Ich hoff, du kannst das nachvollziehen! 
Grüße
SirBigMac
|
|
|
|
