Induktionsbew. für Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche [mm] n\in \IN [/mm] gilt [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm] ? |
Ich bin ja recht stolz, dass ich Induktionsbeweise für Gleichungen hinbekomme, aber sobald es um eine Ungleichung geht, steh ich auf dem Schlauch... Ich hab mal obligatorisch eine Aufgabe ausgewählt und möchte euch meine Ideen präsentieren. Wäre echt super, wenn jemand mir im Verlauf dieser Aufgabe eine allgemeine Strategie für Induktionsbeweise für Ungleichungen aufzeigen könnte.
Hier jetzt meine Ideen:
I.A. (n=1): [mm] 2^1 [/mm] = 2 > 1 = [mm] 1^2
[/mm]
I.S. (n [mm] \to [/mm] n+1):
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] * 2. Nach I.V. weiß ich: [mm] 2^n [/mm] * 2 > [mm] n^2 [/mm] * 2.
Andersrum gilt ja auch: [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] n^2 [/mm] + 2n + 1. Nach I.V.: [mm] n^2 [/mm] + 2n +1 < [mm] 2^n [/mm] + 2n + 1.
Hier weiß ich nur leider nicht, wie ich die beiden Seiten sinnvoll in Verbindung bringen soll. Irgendwie muss ich da ja bestimmt noch eine Abschätzung reinbringen, damit das aufgeht. Wahrscheinlich wird mir diese Abschätzung auch zeigen, dass die Ungleichung erst wieder ab n=5 gilt, aber wie zum Teufel komme ich dadrauf? Im schlimmsten Fall weiß ich ja vorher nicht, ab welchem n die Ungleichung wieder gilt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für welche [mm]n\in \IN[/mm] gilt [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm] ?
> Ich bin ja recht stolz, dass ich Induktionsbeweise für
> Gleichungen hinbekomme, aber sobald es um eine Ungleichung
> geht, steh ich auf dem Schlauch... Ich hab mal
> obligatorisch eine Aufgabe ausgewählt und möchte euch
> meine Ideen präsentieren. Wäre echt super, wenn jemand
> mir im Verlauf dieser Aufgabe eine allgemeine Strategie
> für Induktionsbeweise für Ungleichungen aufzeigen
> könnte.
>
> Hier jetzt meine Ideen:
>
> I.A. (n=1): [mm]2^1[/mm] = 2 > 1 = [mm]1^2[/mm]
Vorsicht ! für n=2, n=3 und n=4 ist die Ungleichung falsch !
Also zeige: $ [mm] 2^n [/mm] $ > $ [mm] n^2 [/mm] $ für n [mm] \ge [/mm] 5
>
> I.S. (n [mm]\to[/mm] n+1):
> [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * 2. Nach I.V. weiß ich: [mm]2^n[/mm] * 2 > [mm]n^2[/mm] * 2.
Jetzt brauchst Du noch: [mm] $2n^2 \ge (n+1)^2$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 5 (zeige das !)
FRED
> Andersrum gilt ja auch: [mm](n+1)^2[/mm] = [mm]n^2[/mm] + 2n + 1. Nach I.V.:
> [mm]n^2[/mm] + 2n +1 < [mm]2^n[/mm] + 2n + 1.
>
> Hier weiß ich nur leider nicht, wie ich die beiden Seiten
> sinnvoll in Verbindung bringen soll. Irgendwie muss ich da
> ja bestimmt noch eine Abschätzung reinbringen, damit das
> aufgeht. Wahrscheinlich wird mir diese Abschätzung auch
> zeigen, dass die Ungleichung erst wieder ab n=5 gilt, aber
> wie zum Teufel komme ich dadrauf? Im schlimmsten Fall weiß
> ich ja vorher nicht, ab welchem n die Ungleichung wieder
> gilt...
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> Vorsicht ! für n=2, n=3 und n=4 ist die Ungleichung
> falsch !
>
> Also zeige: [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 5
>
Ich weiß ja, dass das für n=2, n=3 und n=4 nicht gilt. Ich will ja wissen, ob es da einen mathematischen Weg hingibt.
>
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> >
> > I.S. (n [mm]\to[/mm] n+1):
> > [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * 2. Nach I.V. weiß ich: [mm]2^n[/mm] * 2 > [mm]n^2[/mm] * 2.
>
>
> Jetzt brauchst Du noch: [mm]2n^2 \ge (n+1)^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 5
> (zeige das !)
>
>
> FRED
>
Mir hat jemand (,der mir das nicht vernünftig klarmachen konnte,) gesagt, dass ich [mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] [warum eigentlich [mm] "\ge"] [/mm] äquivalent umformen kann, damit ich [mm] n\ge5 [/mm] herausbekomme. Stimmt das oder muss ich da jetzt einfach einsetzen und schauen wann es passt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Vorsicht ! für n=2, n=3 und n=4 ist die Ungleichung
> > falsch !
> >
> > Also zeige: [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 5
> >
> Ich weiß ja, dass das für n=2, n=3 und n=4 nicht gilt.
> Ich will ja wissen, ob es da einen mathematischen Weg
> hingibt.
Was meinst Du damit ? Du mußt den Induktionsanfang bei n=5 machen !
> >
> >
> > >
> > > I.S. (n [mm]\to[/mm] n+1):
> > > [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * 2. Nach I.V. weiß ich: [mm]2^n[/mm] * 2 > [mm]n^2[/mm] * 2.
> >
> >
> > Jetzt brauchst Du noch: [mm]2n^2 \ge (n+1)^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 5
> > (zeige das !)
> >
> >
> > FRED
> >
> Mir hat jemand (,der mir das nicht vernünftig klarmachen
> konnte,) gesagt, dass ich [mm]2n^2[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] [warum eigentlich
> [mm]"\ge"][/mm] äquivalent umformen kann, damit ich [mm]n\ge5[/mm]
> herausbekomme.
Das ist Quatsch !
[mm] $2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 \gdw n^2> [/mm] 2n+1 [mm] \gdw n^2-2n+1>2 \gdw (n-1)^2 [/mm] >2 [mm] \gdw [/mm] n> [mm] \wurzel{2}+1$
[/mm]
FRED
> Stimmt das oder muss ich da jetzt einfach
> einsetzen und schauen wann es passt?
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> > > Vorsicht ! für n=2, n=3 und n=4 ist die Ungleichung
> > > falsch !
> > >
> > > Also zeige: [mm]2^n[/mm] > [mm]n^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 5
> > >
> > Ich weiß ja, dass das für n=2, n=3 und n=4 nicht gilt.
> > Ich will ja wissen, ob es da einen mathematischen Weg
> > hingibt.
>
>
> Was meinst Du damit ? Du mußt den Induktionsanfang bei n=5
> machen !
> > >
Meine Frage ist, ob ich, wenn ich ganz normal den Induktionsbeweis führe, dabei herausbekomme, dass die Ungleichung für n=1 und [mm] n\ge [/mm] 5 gilt. Ich verstehe auch nicht ganz, warum ich deiner Meinung nach den I.A. n=5 wählen soll, denn für n=1 stimmt es doch auch.
> > >
> > > >
> > > > I.S. (n [mm]\to[/mm] n+1):
> > > > [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2^n[/mm] * 2. Nach I.V. weiß ich: [mm]2^n[/mm] * 2 > [mm]n^2[/mm] * 2.
> > >
> > >
> > > Jetzt brauchst Du noch: [mm]2n^2 \ge (n+1)^2[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 5
> > > (zeige das !)
> > >
> > >
> > > FRED
> > >
> > Mir hat jemand (,der mir das nicht vernünftig klarmachen
> > konnte,) gesagt, dass ich [mm]2n^2[/mm] > [mm](n+1)^2[/mm] [warum eigentlich
> > [mm]"\ge"][/mm] äquivalent umformen kann, damit ich [mm]n\ge5[/mm]
> > herausbekomme.
>
> Das ist Quatsch !
>
> [mm]2n^2 > (n+1)^2 \gdw n^2> 2n+1 \gdw n^2-2n+1>2 \gdw (n-1)^2 >2 \gdw n> \wurzel{2}+1[/mm]
Okay, das habe ich auch so gerechnet. Muss ich denn tatsächlich einsetzen und versuchen wann es klappt??? Das wird doch aber echt fies, wenn die Zahl deutlich größer ist!
>
> FRED
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> > Stimmt das oder muss ich da jetzt einfach
> > einsetzen und schauen wann es passt?
Sorry, dass ich jetzt erst reagiere. Hatte keinen Zugriff auf einen PC.
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Hallo fagottator!
> Meine Frage ist, ob ich, wenn ich ganz normal den
> Induktionsbeweis führe, dabei herausbekomme, dass die
> Ungleichung für n=1 und [mm]n\ge[/mm] 5 gilt. Ich verstehe auch
> nicht ganz, warum ich deiner Meinung nach den I.A. n=5
> wählen soll, denn für n=1 stimmt es doch auch.
Ja, aber auch ...
"Vorsicht ! für n=2, n=3 und n=4 ist die Ungleichung falsch !"
Es ist hier gefragt (leider nicht deutlich formuliert), ab welchem [mm] $n_0$ [/mm] es für alle darauffolgenden $n_$ es gilt.
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo fagottator!
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> > Meine Frage ist, ob ich, wenn ich ganz normal den
> > Induktionsbeweis führe, dabei herausbekomme, dass die
> > Ungleichung für n=1 und [mm]n\ge[/mm] 5 gilt. Ich verstehe auch
> > nicht ganz, warum ich deiner Meinung nach den I.A. n=5
> > wählen soll, denn für n=1 stimmt es doch auch.
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> Ja, aber auch ...
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> "Vorsicht ! für n=2, n=3 und n=4 ist die Ungleichung
> falsch !"
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> Es ist hier gefragt (leider nicht deutlich formuliert), ab
> welchem [mm]n_0[/mm] es für alle darauffolgenden [mm]n_[/mm] es gilt.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
Das hört sich doch mal plausibel an! Jetzt bleibt ja nur noch zu klären, wie ich [mm] n\ge5 [/mm] herausbekomme. Muss ich das nun ausprobieren oder kann ich das "errechnen"?
Schon mal Danke für die erste Aufklärung!
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> > Hallo fagottator!
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> > > Meine Frage ist, ob ich, wenn ich ganz normal den
> > > Induktionsbeweis führe, dabei herausbekomme, dass die
> > > Ungleichung für n=1 und [mm]n\ge[/mm] 5 gilt. Ich verstehe auch
> > > nicht ganz, warum ich deiner Meinung nach den I.A. n=5
> > > wählen soll, denn für n=1 stimmt es doch auch.
> >
> > Ja, aber auch ...
> >
> > "Vorsicht ! für n=2, n=3 und n=4 ist die Ungleichung
> > falsch !"
> >
> > Es ist hier gefragt (leider nicht deutlich formuliert), ab
> > welchem [mm]n_0[/mm] es für alle darauffolgenden [mm]n_[/mm] es gilt.
> >
> >
> > Gruß vom
> > Roadrunner
> >
> Das hört sich doch mal plausibel an! Jetzt bleibt ja nur
> noch zu klären, wie ich [mm]n\ge5[/mm] herausbekomme. Muss ich das
> nun ausprobieren oder kann ich das "errechnen"?
Hallo,
der "Normalfall" bei dieser Aufgabe läuft so ab:
Man überfliegt die Aufgabe, alles klar, Induktion.
Man macht einen schönen Induktionsanfang für n=1, startet dann beherzt eine Induktion, stellt fest: huch, irgendwie krieg' ich das nicht hin.
Man geht in sich. Probiert mit n=2, stellt fest: geht ja gar nicht.
Erster Verdacht: falsche Aufgabenstellung.
Vor der Beschwerde beim Aufgabensteller folgt dann im Idealfall die etwas genauere Lektüre des Aufgabentextes, woraufhin nochmal ein paar Werte probiert werden, und - nun etwas vorsichtiger - der Verdacht geschöpft wird, daß die Aussage für [mm] n\ge [/mm] 5 gelten könnte.
Und jetzt geht's wieder los:
Induktionsanfang für n=5 und dann ein schöner Induktionsbeweis, bei dem man immer im Hinterkopf hat, daß man gerade für [mm] n\ge [/mm] 5 beweist.
Und genau das solltest Du nun tun.
Gruß v. Angela
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Liebe Angela, du bist echt ein Goldschatz! Genau SO eine Antwort habe ich vermisst! Dann will ich es mal versuchen:
I.A.(n=5): [mm] 2^5 [/mm] = 32 > 25 = [mm] 5^2
[/mm]
I.S.(n [mm] \to [/mm] n+1): [mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^n [/mm] * 2. Nach I.V.: [mm] 2^n*2 [/mm] > [mm] n^2*2. [/mm] Ziel ist: [mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] n^2+2n+1 \gdw n^2-2n-1 [/mm] > 0 [mm] \gdw n^2-2n+1 [/mm] = [mm] (n-1)^2 [/mm] > 2. Da n>5 ist diese Aussage wahr und somit ist auch die Aussage [mm] 2n^2 [/mm] > [mm] (n+1)^2 [/mm] wahr. Also gilt insgesamt: [mm] 2^{n+1}>(n+1)^2.
[/mm]
Ist das jetzt so richtig und brtauchbar durchgeführt?
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Hallo,
ja, so kannst Du es machen.
Ich selbst würde eher im Induktionsschluß vorweg erwähnen, daß [mm] (n-1)^2-2>0 [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 5 (sogar für [mm] n\ge [/mm] 3), und dann in einem Guß arbeiten
[mm] 2^{n+1}= 2*2^n= n^2 [/mm] + 2n +1 + [mm] n^2 [/mm] -2n -1 [mm] =(n+1)^2 [/mm] + [mm] n^2 [/mm] -2n +1 [mm] -2=(n+1)^2 [/mm] + [mm] [(n-1)^2 [/mm] -2] > [mm] (n+1)^2.
[/mm]
Aber das ist keine Fage des Inhaltes, sondern eher des Stils!
Gruß v. Angela
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