Induktionsaufgabe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 25.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich habe hier schon wieder eine Aufgabe gefunden, die ich nicht lösen kann, dabei sieht sie eigentlich gar nicht soo schwierig aus:
Man beweise [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}, (n\ge [/mm] k).
Ich nehme an, dass man es mit Induktion machen soll, denn es steht im Kapitel über Induktion und anders habe ich es auch noch nicht hinbekommen.
Ich habe als Induktionsanfang n=k gewählt, oder kann man da auch noch was anderes nehmen? Bei mir hat nichts anderes Sinn gemacht... So, und dann komme ich im Induktionsschritt so weit, dass ich quasi noch folgendes zeigen müsste:
[mm] \summe_{m=k}^n \vektor{m \\ k} [/mm] * [mm] \bruch{n+2}{n-k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}+\vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich von dem Mal auf das Plus kommen soll. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Und anders habe ich es auch irgendwie nicht geschafft. Hat vielleicht jemand ne Ahnung, wie man das macht und kann mir einen Tipp dafür geben?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Mo 25.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane.
Die Idee, Induktion nach $n$ zu führen ist schon korrekt, ebenso wie die Induktionsverankerung durch $n=k$. Den Induktionsschritt könntest du allerdings wesentlich einfacher durchführen. Sei die Behauptung für alle [mm] $n'\leq [/mm] n$ korrekt, so ist:
$ [mm] \summe_{m=k}^{n+1} \vektor{m \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n} \vektor{m \\ k}+\vektor{n+1\\ k}=\vektor{n+1\\k+1}+\vektor{n+1\\ k}=\vektor{n+2\\ k+1}$.
[/mm]
Damit ist bereits alles gezeigt.
Liebe Grüße,
Hanno
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
Danke. 
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
