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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 26.10.2008 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} \in \IQ
[/mm]
a) Es gelte [mm] a_{i} \geq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n. Dann gilt [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) \geq 1+a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n}
[/mm]
b) Es gelte -1 [mm] \leq a_i \leq [/mm] 0 für [mm] 1\leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n. Dann gilt [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) \geq 1+a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n}. [/mm] |
Hallo,
leider komme ich bei beiden Aufgabenteilen über den Indunktionanfang nicht hinaus:
IA: [mm] \produkt_{i=1}^{1}(1+a_{i}) [/mm] = [mm] 1+a_{1}
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})= (1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) \geq (1+a_{n+1})(1+a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n}) =a_{n+1}(1+a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n}).
[/mm]
Hier weis ich nicht mehr weiter, es wäre schön, wenn ihr mir hier weiter helfen könntet.
Ich denke bis zum obigen Punkt kann man meine Lösung für a) und b) benutzen.
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Hallo wee,
> [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{n} \in \IQ[/mm]
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> a) Es gelte [mm]a_{i} \geq[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\leq[/mm] i [mm]\leq[/mm] n. Dann gilt
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) \geq 1+a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n}[/mm]
>
> b) Es gelte -1 [mm]\leq a_i \leq[/mm] 0 für [mm]1\leq[/mm] i [mm]\leq[/mm] n. Dann
> gilt [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) \geq 1+a_{1}+[/mm] ... +
> [mm]a_{n}.[/mm]
> Hallo,
>
> leider komme ich bei beiden Aufgabenteilen über den
> Indunktionanfang nicht hinaus:
>
> IA: [mm]\produkt_{i=1}^{1}(1+a_{i})[/mm] = [mm]1+a_{1}[/mm]
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1}(1+a_{i})= (1+a_{n+1})\produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) \geq (1+a_{n+1})(1+a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n}) =a_{n+1}(1+a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n}).[/mm]
Was ist hier im letzten Schritt passiert?
Bis zum Schritt davor ist es richtig, wenn du dort die Klammer ausmultiplizierst, bekommst du
[mm] $(1+a_{n+1})\cdot{}(1+a_1+a_2+.....+a_n)=(1+a_1+a_2+.....+a_n)+a_{n+1}\cdot{}(1+a_1+a_2+.....+a_n)=(1+a_1+a_2+.....+a_n+a_{n+1})+\underbrace{a_{n+1}\cdot{}(a_1+a_2+.....+a_n)}_{\ge 0, \text{da alle Summanden}\ge 0}\ge 1+a_1+a_2+.....+a_n+a_{n+1}$
[/mm]
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> Hier weis ich nicht mehr weiter, es wäre schön, wenn ihr
> mir hier weiter helfen könntet.
> Ich denke bis zum obigen Punkt kann man meine Lösung für
> a) und b) benutzen.
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 26.10.2008 | | Autor: | wee |
Danke für die Hilfe, tja, wenn man sich einmal verrannt hat, wird´s schwer, weiter zu kommen.
man hat jetzt also [mm] (1+a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n+1}) [/mm] + [mm] a_{n+1}(1+a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n})
[/mm]
Wenn jetzt aber in b) gilt -1 [mm] \leq a_{i} \leq [/mm] 0 für alle i
kann man dann wie folgt agumentieren:
1.Fall: [mm] a_{n+1}=0 [/mm] oder [mm] (a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n}) [/mm] =0 trivial!
2.Fall: [mm] a_{n+1}\not= [/mm] 0 und [mm] (a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n})\not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow a_{n+1}<0 [/mm] und [mm] (a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n})<0 \Rightarrow [/mm] das Produkt ist positiv
In beiden Fällen kann man dann den Summanden [mm] a_{n+1}(1+a_{1}+ [/mm] ... + [mm] a_{n}) [/mm] abziehen und ist mit dem Beweis fertig?
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Hallo nochmal,
> Danke für die Hilfe, tja, wenn man sich einmal verrannt
> hat, wird´s schwer, weiter zu kommen.
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> man hat jetzt also [mm](1+a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n+1})[/mm] + [mm]a_{n+1}(1+a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n})[/mm]
Das stimmt so nicht, den Summanden [mm] $a_{n+1}$ [/mm] am Ende der ersten Klammer hatte ich als Produkt von [mm] $a_{n+1}$ [/mm] und $1$ aus der 2.Klammer ausgeborgt
Da muss also - siehe oben in der anderen Antwort - stehen:
[mm] $....=(1+a_1+a_2+.....+a_n+a_{n+1})+a_{n+1}\cdot{}(\red{a_1+a_2+.....+a_n})$
[/mm]
>
> Wenn jetzt aber in b) gilt -1 [mm]\leq a_{i} \leq[/mm] 0 für alle i
>
> kann man dann wie folgt agumentieren:
>
> 1.Fall: [mm]a_{n+1}=0[/mm] oder [mm](a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n})[/mm] =0 trivial!
>
> 2.Fall: [mm]a_{n+1}\not=[/mm] 0 und [mm](a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n})\not=[/mm] 0
>
> [mm]\Rightarrow a_{n+1}<0[/mm] und [mm](a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n})<0 \Rightarrow[/mm]
> das Produkt ist positiv
>
> In beiden Fällen kann man dann den Summanden
> [mm]a_{n+1}(1+a_{1}+[/mm] ... + [mm]a_{n})[/mm] abziehen und ist mit dem
> Beweis fertig?
Ja, so in etwa, ich denke aber, dass du die Fallunterscheidungen gar nicht machen musst, denn, wenn du mal die letzte Klammer wieder ausmultiplizierst, steht da [mm] $.....+(a_{n+1}\cdot{}a_1+a_{n+1}\cdot{}a_2+.....+a_{n+1}\cdot{}a_n)$
[/mm]
Dort sind alle Summanden nicht-negativ, als Produkt je zweier nicht-positiver Zahlen, also ist die hintere Klammer [mm] $\ge [/mm] 0$
Dann wie gehabt weiter ...
LG
schachuzipus
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