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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 13.11.2011 | | Autor: | yann |
| Aufgabe | Zeige, dass für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ n [mm] \ge [/mm] 5 $ gilt:
$ [mm] n^2 \le 2^n [/mm] $. |
Einen schönen Sonntag wünsche ich der Community!
Momentan habe ich einen Denkfehler bei der gegebenen Aufgabe. So hab ich meine Bearbeitung auf dem Blatt stehen:
Behauptung:
Die Aussage $ "E(n): [mm] n^2 \le 2^n [/mm] $ gilt für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $ mit $ n [mm] \ge [/mm] 5 $.
Beweis:
Induktionsanfang:
Für $ n=5 $ gilt: $ [mm] n^2=5^2=25 \le 32=2^5 [/mm] $.
Damit ist $ E(5) $ wahr.
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $ n [mm] \ge [/mm] 5 $ gilt $ E(n) $.
Zu zeigen: $ E(n+1) $, also $ [mm] (n+1)^2 \le 2^{(n+1)} [/mm] $
Induktionsschritt:
Es ist $ [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] n^2+2n+1 [/mm] $.
Es ist außerdem [mm] $2^{(n+1)} [/mm] = [mm] 2^n*2$.
[/mm]
Mit der IV gilt:
[mm] $2^{(n+1)} [/mm] = [mm] 2^n*2 \ge n^2*2 [/mm] = [mm] n^2+n^2 \ge n^2+2n+1 [/mm] = [mm] (n+1)^2$
[/mm]
[mm] $n^2+n^2 \ge n^2+2n+1§ [/mm] gilt deshalb, weil auch folgendes gilt:
[mm] $n^2 [/mm] > 2n+1$ für alle [mm] $n\ge [/mm] 5$.
Das Problem, das ich habe ist folgendes:
Die Ungleichung $ [mm] n^2 \le 2^n [/mm] $ stimmt natürlich auch für $ n=4 $. Nicht mehr jedoch für $ n=3 $, denn $ 9 [mm] \not \le [/mm] 8 $.
Müssten nicht die selben Intervalle für [mm] $n^2 [/mm] > 2n+1$ gelten, wo doch aber $ 9>7 $ für $ n=3 $ gilt?
Offensichtlich habe ich einen Denkfehler gemacht, wo liegt dieser?
Danke im Voraus,
yann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo yann,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeige, dass für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 5[/mm] gilt:
> [mm]n^2 \le 2^n [/mm].
> Einen schönen Sonntag wünsche ich der
> Community!
>
> Momentan habe ich einen Denkfehler bei der gegebenen
> Aufgabe. So hab ich meine Bearbeitung auf dem Blatt
> stehen:
>
> Behauptung:
> Die Aussage [mm]"E(n): n^2 \le 2^n[/mm] gilt für alle [mm]n \in \IN [/mm]
> mit [mm]n \ge 5 [/mm].
>
> Beweis:
>
> Induktionsanfang:
>
> Für [mm]n=5[/mm] gilt: [mm]n^2=5^2=25 \le 32=2^5 [/mm].
> Damit ist [mm]E(5)[/mm]
> wahr.
>
> Induktionsvoraussetzung:
>
> Für ein [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge 5[/mm] gilt [mm]E(n) [/mm].
>
> Zu zeigen: [mm]E(n+1) [/mm], also [mm](n+1)^2 \le 2^{(n+1)}[/mm]
>
> Induktionsschritt:
>
> Es ist [mm](n+1)^2 = n^2+2n+1 [/mm].
> Es ist außerdem [mm]2^{(n+1)} = 2^n*2[/mm].
>
> Mit der IV gilt:
>
> [mm]2^{(n+1)} = 2^n*2 \ge n^2*2 = n^2+n^2 \ge n^2+2n+1 = (n+1)^2[/mm]
>
> [mm]$n^2+n^2 \ge n^2+2n+1§[/mm] gilt deshalb, weil auch folgendes
> gilt:
> [mm]n^2 > 2n+1[/mm] für alle [mm]n\ge 5[/mm].
>
> Das Problem, das ich habe ist folgendes:
>
> Die Ungleichung [mm]n^2 \le 2^n[/mm] stimmt natürlich auch für [mm]n=4 [/mm].
> Nicht mehr jedoch für [mm]n=3 [/mm], denn [mm]9 \not \ge 8 [/mm].
>
> Müssten nicht die selben Intervalle für [mm]n^2 > 2n+1[/mm]
> gelten, wo doch aber [mm]9>7[/mm] für [mm]n=3[/mm] gilt?
>
Nein.
Wichtig ist nur, daß diese Ungleichung mindestens für [mm]n\ge5[/mm] gilt.
Das Intervall für die die Ungleichung [mm]n^{2}>2n+1[/mm] gilt,
kann natürlich größer sein (hier: [mm]n \ge 2[/mm]).
> Offensichtlich habe ich einen Denkfehler gemacht, wo liegt
> dieser?
>
> Danke im Voraus,
> yann
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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