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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Setha |
Hallo!
Was ist an dieser Induktion falsch, denn irgenwie scheint sie nicht aufzugehen:
[mm] 4^n/n+1 [/mm] <= [mm] (2n)!/(n!)^2 [/mm]
für n=1 kommt 2= 2 raus...I.A. gilt.
A(n) => A(n+1)
4^(n+1)/n+2 <= (2(n+1))! / (n+1)!^2
daraus ergibt sich dann: 4^(n+1)/n+2 <= 2! / (n+1)!
und nun? komme nicht weiter, fände es sehr nett , wenn mir jemand helfen könnte!
Ausserdem hänge ich noch an dieser aufgabe fest:
s sei eine fest vorgegebene natürliche Zahl und n>=1
summe(k=1,n)Produkt(t=0,s) (k+t) = 1/ (s+2) *Produkt(t=0,s+1)(n+t)
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Setha
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> [mm]4^n/n+1[/mm] <= [mm](2n)!/(n!)^2[/mm]
>
> für n=1 kommt 2= 2 raus...I.A. gilt.
> A(n) => A(n+1)
> 4^(n+1)/n+2 <= (2(n+1))! / (n+1)!^2
>
> daraus ergibt sich dann: 4^(n+1)/n+2 <= 2! / (n+1)!
Hallo,
kannst Du in Zukunft den Formeleditor verwenden? Er funktioniert sehr gut, und man sieht wirklich schneller, was gemeint ist.
Du möchtest also per Induktion zeigen: [mm] \bruch{4^n}{n+1} \le \bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Den Induktionsanfang hast Du ja schon.
Nun der Induktionsschluß:
Unter der Voraussetzung, daß [mm] \bruch{4^n}{n+1} \le \bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt, ist zu zeigen:
Es ist [mm] \bruch{4^{n+1}}{n+2} \le \bruch{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Es ist [mm] \bruch{4^{n+1}}{n+2}=\bruch{4}{n+2}4^n \le \bruch{4}{n+2}(n+1)\bruch{(2n)!}{(n!)^2} [/mm] ... weiter umformen und abschätzen, bis Du da bist, wo Du hinwillst.
> daraus ergibt sich dann: 4^(n+1)/n+2 <= 2! / (n+1)!
Da Du die Rechnung nicht mit aufschreibst, kann ich Dir hierzu nichts sagen.
Die Aufgabe da unten stellst Du am besten - schön mit dem Formeleditor bearbeitet und mit den ersten Lösungsansätzen - nochmal gesondert. Sonst wird leicht alles so unübersichtlich.
Gruß v. Angela
>
> Ausserdem hänge ich noch an dieser aufgabe fest:
> s sei eine fest vorgegebene natürliche Zahl und n>=1
>
> summe(k=1,n)Produkt(t=0,s) (k+t) = 1/ (s+2)
> *Produkt(t=0,s+1)(n+t)
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt!
> Setha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Setha |
Hallo Angela!
Warum ist den [mm] 4/(n+2)*4^n>=4/(n+2)*(n+1)*(2n)!/(n!)^2 [/mm] ?
Gruß Setha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Setha!
Zunächst einmal musst Du das Unlgeichheitszeichen umdrehen!
[mm] $\bruch{4}{n+2}*4^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{n+2}*(n+1)*\blue{\bruch{4^n}{n+1}} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \bruch{4}{n+2}*(n+1)*\blue{\bruch{(2n)!}{(n!)^2}}$
[/mm]
Dabei wurde dann für den blauen Bruch die Induktionsvoraussetzung eingesetzt.
Guß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Setha |
Oh, peinlich!
[mm] \summe_{k=1}^{n} \produkt_{t=1}^{s} (k+t)=1/(s+2)*\produkt_{t=1}^{s+1}(n+t)
[/mm]
ist die andere Gleichung.
Muss ich hier durch induktion beweisen?
Wenn ja, setzt ich dann für den Induktionsanfang: n=k=1 für t=0 und
s z.B =2.
Dann gilt sie aber nicht (kommt nämlich 1= 1/4 raus, wenn ich mich nicht irre).
Liebe Grüße Setha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Setha!
Ja, hier würde ich auch mit Induktion vorgehen.
Zunächst sollten wir uns aber über den Ausdruck [mm] $\produkt_{t=1}^{s} [/mm] (k+t)$ klar machen.
[mm] $\produkt_{t=1}^{s} [/mm] (k+t) \ = \ (k+1)*(k+2)*(k+3)*...*(k+s) \ = \ [mm] \bruch{\blue{1*2*3*...*k}*(k+1)*(k+2)*(k+3)*...*(k+s)}{\blue{1*2*3*...*k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(k+s)!}{k!}$
[/mm]
Ebenso: [mm] $\produkt_{t=1}^{s+1}(n+t) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+s+1)!}{n!}$
[/mm]
Nun ist also per Induktion zu zeigen: [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{(k+s)!}{k!} \ = \ \bruch{1}{s+2}*\bruch{(n+s+1)!}{n!}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Setha |
Hallo Loddar!
Erstmal danke für die schnelle Antwort!!
und jetzt meine Frage:
> [mm]\produkt_{t=1}^{s} (k+t) \ = \ (k+1)*(k+2)*(k+3)*...*(k+s) \ = \ \bruch{\blue{1*2*3*...*k}*(k+1)*(k+2)*(k+3)*...*(k+s)}{\blue{1*2*3*...*k}} \ = \ \bruch{(k+s)!}{k!}[/mm]
Warum ist (k+1)*.....*(k+s) = 1*2*...*k*(k+1)*(k+2)*...(k+s)/ 1*2*...*k ?
Übrigens hab ich mich vorhin vertippt, der Definitionsbereich lag von
t=0 bis s, bzw. t=0 bis s+1. Aber das ändert ja nicht an dem Ergebniss...
ich hab die Induktion für [mm] \summe_{k=1}^{n}(k+s)!/k!= [/mm] 1/(s+2)*(n+s+1)!/n! durchgeführt (versucht!).
für s=n=k=1 gilt der I.A.
A(n+1) : (k+s)!/k!= 1/(s+2)* (n+1+s+1)!/(n+1)!
da linke seite und der Faktor 1/(s+2) gleich bleiben muss
(n+s+1)!/n! = (n+s+2)!/(n+1)! sein (oder?).
Ähh, wie form ich das denn weiter um? kann ich (n+1)! mit einem n+1! aus dem Zähler kürzen, bzw. n! beim anderen Bruch?
Dann würde da nämlich nurnoch (s+1)!= (s+1)! und ich wäre fertig.
Schöne Grüße Setha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 So 13.11.2005 | | Autor: | Setha |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Jetzt muss es aber klappen....
Gruß Setha
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...).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
$s_$ bleibt beliebig wählbar, aber fest. Der Induktionsanfang ist nur mit $n \ = \ 1$ .
