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| Aufgabe | | Sei A€M(nxn,R)nilpotent.Zeigen Sie induktiv,daß für die Einträge [mm] A^k=:(a_i_j^{k}) [/mm] gilt,daß [mm] (a_i_j^{k})=0 [/mm] für i>j-k.Folgern Sie, daß eine hinreichend hohe Potenz von A verschwindet,d.h. Null wird. |
Hallo,
also ich sitze jetzt schon ein wenig länger an diese Aufgabe.
Also ich verstehe schon wie die Aufgabe gemeint ist und die Matrix muss eine nilpotente obere Dreicksmatrix sein,oder?
Aber ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich das mit der Induktion zeigen soll.
Wäre echt super toll wenn mir jemand helfen könnte.
Bin über jeden Ansatz dankbar=)
Danke schon mal im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Betrachte doch einfach induktiv bei den Potenzen die Teilmatrizen. o.B.d.A sei die Matrix vom Format:
[mm]J_3=\left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\
1&0&0\\
0&1&0\end {array} \right) [/mm]
[mm]J_3^2=\left( \begin {array}{cc|c} 0&0&0\\
\hline 0&0&0\\
1&0&0\end {array} \right) [/mm] wobei [mm]J_2=\pmat{0&0 \\
1 & 0 } [/mm] . Dabei kannst du den Induktionsschritt ansetzen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Do 04.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei A€M(nxn,R)nilpotent.Zeigen Sie induktiv,daß für die
> Einträge [mm]A^k=:(a_i_j^{k})[/mm] gilt,daß [mm](a_i_j^{k})=0[/mm] für
> i>j-k.Folgern Sie, daß eine hinreichend hohe Potenz von A
> verschwindet,d.h. Null wird.
Streng genommen ist die Aufgabe falsch. Sie wuerde zeigen, dass jede nilpotente Matrix eine echte obere Dreiecksmatrix ist. Was nicht der Fall ist, wie man an den Matrizen aus wieschoos Antwort sieht.
Oder ist die Annahme, dass $A$ eine nilpotente obere Dreiecksmatrix ist, und dann soll man [mm] $a_{ij}^k [/mm] = 0$ fuer alle $i > j - k$ zeigen?
(Und die Induktion sollte nach $k$ gehen.)
LG Felix
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Ja, ich denke, dass es schon vorrausgesetzt ist, dass A eine obere Dreiecksmatrix ist und man zeigen soll, dass $ [mm] a_{ij}^k [/mm] = 0 $ fuer alle $ i > j - k $ gilt. So habe ich jedenfalls die Frage verstanden.Aber das bedeutet ja eben dass ich das Format nicht vorraussetzen kann, oder? Ich verstehe nicht so ganz wie ich da herangehen soll..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 07.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Fr 05.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Man bekommt je nach Jordanbasis auch die Einträge in die obere Ecke?
Dann betrachte man halt die Matrizen in einer anderen Basis und schon steht:
[mm] J_3=\left( \begin {array}{ccc} 0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0\end {array} \right) [/mm] da und auch somit [mm] J_3^2=\left( \begin {array}{c|cc} 0&0&1\\
0&0&0\\
\hline 0&0&0\end {array} \right) [/mm] wo bei [mm] J_2=\pmat{0&1 \\
0 & 0 } [/mm] die Induktionsvorraussetzung greifen würde.
So ganz sinnvoll finde ich aber die Aufgabe wieder nicht. Wenn eine Matrix A nilpotent ist, dann existiert ja per Definition ein eine Potenz von A die die Nullabbildung darstellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Fr 05.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> So ganz sinnvoll finde ich aber die Aufgabe wieder nicht.
> Wenn eine Matrix A nilpotent ist, dann existiert ja per
> Definition ein eine Potenz von A die die Nullabbildung
> darstellt.
Da hast du voellig Recht :) Und dann noch die nicht vollstaendige Aufgabenstellung (man muss schon sagen, dass es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt, ansonsten hat es die angegebene Form nicht)... Die Aufgabe ist schon etwas komisch.
LG Felix
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