Induktion mit Fakultät < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Do 08.01.2009 | | Autor: | Sebbo17 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebes Team,
hab mich heute hier neu angemeldet, da ich bei einer Aufgabenstellung leider überhaupt nicht weiterkomme.
Die Aufgabe handelt über den Beweis der Richtigkeit einer Gleichung mittels vollständiger Induktion:
Obere Summationsgrenze: n
untere Summationsgrenze: k=1
Summationsindex: k*k!
das Ganze soll gleichbedeutend mit (n+1)! - 1 sein.
Die Schritte für die Induktion sind mir bewusst.
I.A : n=1 ergibt wahre Aussage
Wenn ich nun die Aussage für n+1 beweisen will komm ich auf den Term:
(n+1)! -1 + (n+1)*(n+1)! (durch Einsetzen)
Ab hier komme ich mit dem Zusammenfassen nicht mehr weiter.
Hab eine Lösung die mit folgenden Schritten weitergeht:
= (n+1)! (1+n+1) -1
= (n+1)! (n+2) -1
= (n+2)! -1
nur wie komme ich da drauf, bzw. gibt es Rechenregeln für Fakultäten?
Ich wäre für eine Hilfe sehr dankbar!
Mit freundlichem Gruß
Sebbo17
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Do 08.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Liebes Team,
>
> hab mich heute hier neu angemeldet, da ich bei einer
> Aufgabenstellung leider überhaupt nicht weiterkomme.
>
> Die Aufgabe handelt über den Beweis der Richtigkeit einer
> Gleichung mittels vollständiger Induktion:
>
> Obere Summationsgrenze: n
> untere Summationsgrenze: k=1
> Summationsindex: k*k!
>
> das Ganze soll gleichbedeutend mit (n+1)! - 1 sein.
Du meinst: [mm] $\sum_{k=1}^n [/mm] k [mm] \cdot [/mm] k! = (n + 1)! - 1$.
> Die Schritte für die Induktion sind mir bewusst.
> I.A : n=1 ergibt wahre Aussage
>
> Wenn ich nun die Aussage für n+1 beweisen will komm ich auf
> den Term:
>
> (n+1)! -1 + (n+1)*(n+1)! (durch Einsetzen)
>
> Ab hier komme ich mit dem Zusammenfassen nicht mehr
> weiter.
> Hab eine Lösung die mit folgenden Schritten weitergeht:
>
> = (n+1)! (1+n+1) -1
> = (n+1)! (n+2) -1
> = (n+2)! -1
>
> nur wie komme ich da drauf, bzw. gibt es Rechenregeln für
> Fakultäten?
Einmal hast du ausgeklammert, und dann hast du $(n + 1)! [mm] \cdot [/mm] (n + 2) = (n + 2)!$ verwendet.
Wenn du dir mal die Definition von $(n+ 1)!$ anschaust:
$(n + 1)! = (n + 1) [mm] \cdot [/mm] n [mm] \cdot [/mm] (n - 1) [mm] \cdot [/mm] (n - 2) [mm] \cdot \dots \cdot [/mm] 1$
Und die von $(n + 2)!$:
$(n + 2)! = (n + 2) [mm] \cdot [/mm] (n + 1) [mm] \cdot [/mm] n [mm] \cdot [/mm] (n - 1) [mm] \cdot [/mm] (n - 2) [mm] \cdot \dots \cdot [/mm] 1$
Dann siehst du sofort, dass $(n + 2)! = (n + 1)! [mm] \cdot [/mm] (n + 2)$ ist.
Falls ihr die Fakultaet rekursiv definiert habt, steht es eh sofort da.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Do 08.01.2009 | | Autor: | Sebbo17 |
Danke Felix,
warst mir eine große Hilfe 
Gruß
Sebbo
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Hab grad Tomaten auf den Augen...
Komme nicht hinter wie:
[mm] (n+1)! \, (-1 + (n+1)*(n+1)! [/mm]
zu
[mm](n+1)!\,(1+n+1) -1 [/mm]
wird (davor und im Anschluss ist mir alles klar, aber an der Stelle)...
Klar bestimmt durch ausklammern von (n+1), aber dann müssten
doch beide (n+1)! verschwunden sein????
Danke für den, der sich erbahrmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Di 27.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Horrorbrot,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Das stimmt so nicht ganz. Es muss heißen:
$$... \ = \ (n+1)!+(n+1)*(n+1)!-1 \ = \ \red{(n+1)!}*\blue{1}+\green{(n+1)*\red{(n+1)!}-1 \ = \ \red{(n+1)!}*\left[\blue{1}+\green{(n+1)}\right]-1 \ = \ ...$$
Dabei wurde hier der Term $\red{(n+1)!}$ ausgeklammert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Di 27.10.2009 | | Autor: | HorrorBrot |
Super!
da war ich mal wieder zu blöd um das einfache ausklammern durch zu führen.....
Danke an felixf und Loddar!
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