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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Do 05.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
die vollständige Induktion wird ja immer für Zahlen $\ n, n+1 $ mit $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gezeigt, also für die Menge der natürlichen Zahlen.
Nun würde mich interessieren, ob sich das Ganze nicht auch auf die Menge $\ [mm] \IZ [/mm] $ der ganzen Zahlen ausweiten ließe?
Ich kenne die Peanoschen Axiome zur beschreibung der natürlichen Zahlen und auch das 5. Axiom, dass der Nachfolger $\ n' $ einer natürlichen Zahl $\ n $ stets $\ n' = n +1 $ ist.
Wenn ich das bisher richtig verstanden habe, ist das auch der Grund, warum die vollständige Induktion in der Menge der nat. Zahlen $\ [mm] \IN [/mm] $ so mächtig ist.
Doch die Menge der ganzen Zahlen $\ [mm] \IZ$ [/mm] ist doch auch "bloß" die Menge der multiplikativen Inverse aller Elemente aus $\ [mm] \IN [/mm] $ vereint mit der Menge der natürlichen Zahlen $\ [mm] \IN [/mm] $ und somit sollte zumindest das 5. Peano Axiom auch in $\ [mm] \IZ$ [/mm] gelten, oder etwa nicht?
Angenommen, ich möchte mit Hilfe der vollst. Induktion zeigen, dass eine Zahl der Form $\ 2n$ immer gerade ist. Kann ich das nicht auch für ein $\ n [mm] \in \IZ [/mm] $ zeigen?
Würde mich über eine Antwort freuen.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Do 05.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst auch in [mm] \IZ [/mm] ohne Probleme die Induktion durchführen, du musst aber zwei Ind-Schritte machend.
Du musst also Zeigen: Gilt die Aussage [mm] \mathcal{A} [/mm] für [mm] z_{i} [/mm] , also deinen Induktionsanfang, so gilt [mm] \mathcal{A} [/mm] auch für [mm] z_{i}+1 [/mm] UND [mm] z_{i}-1
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 05.02.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ist einleuchtend. Danke!
Viele Grüße
ChopSuey
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