Induktion einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mo 25.08.2008 | | Autor: | MissTake |
| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion für alle nat. Zahlen n [mm] \ge [/mm] 2 die Gültigkeit folgender Ungleichung:
[mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] k³ < [mm] \bruch{n^4}{4}
[/mm]
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Also ich komme an einer Stelle einfach nicht weiter, vielleicht kann mir ja jemand helfen.. so weit schaff ichs:
Ich setze also A(2) ein und da 1<4 ist gilt der I.A.
A(n) => A(n+1): [mm] \summe_{k=}^{n} [/mm] k³ < [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm]
=> [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ < [mm] \bruch{(n+1)^4}{4}
[/mm]
Und jetzt weiß ich einfach nicht weiter......
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 25.08.2008 | | Autor: | MissTake |
Danke für die liebe Begrüßung.
Ja mein Name scheint kreativer als mein mathematisches Denken zu sein *lach*
Also.... würde es dann so weiter gehen?
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ = [mm] \summe_{k=1}^{n-1} [/mm] k³ + (n-1)³ < [mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + (n+1)³
[mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + (n+1)³ < [mm] \bruch{(n+1)^4}{4}
[/mm]
.. und dann eben ausrechnen?!
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> Danke für die liebe Begrüßung.
> Ja mein Name scheint kreativer als mein mathematisches
> Denken zu sein *lach*
>
> Also.... würde es dann so weiter gehen?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k³ = [mm]\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] k³ + (n-1)³ <
> [mm]\bruch{n^4}{4}[/mm] + (n+1)³
>
> [mm]\bruch{n^4}{4}[/mm] + (n+1)³ < [mm]\bruch{(n+1)^4}{4}[/mm]
>
> .. und dann eben ausrechnen?!
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nicht ganz so, aber es geht in diese Richtung.
Es ist doch
[mm] \summe_{k=1}^{n}[/mm] [/mm] k³ [mm] =1^3+2^3+3^3+...+(n-1)^3+n^3\summe_{k=1}^{n-1}[/mm] [/mm] k³ [mm] +n^3.
[/mm]
Das hatte Dir Loddar ja auch schon gesagt.
Die Summe kannst Du nun, wie Du es oben auch tust, durch die Induktionsvoraussetzung abschätzen.
Du erhältst
[mm] ...<\bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] n^3
[/mm]
Nun mußt Du Dir Gründe überlegen dafür daß dies [mm] <\bruch{(n+1)^4}{4} [/mm] ist.
Tip1:
[mm] ...=\bruch{n^4+4n^3}{4} [/mm] < ???au
Tip2:
Rechne mal auf einem geheimen Nebenrechnungszwttel [mm] (n+1)^4 [/mm] aus.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 25.08.2008 | | Autor: | MissTake |
Ihr dürft mich schlagen... aber ich steh total aufn Schlauch..
Bei Gleichungen ist es ja so, dass ich dann irgendwann für A(n) => A(n+1) setze... (ich versuche es mal verständlich zu beschreiben.. mal schauen obs klappt)
So danach muss ich ja dieses n+1 = "n" mit dem "1" addieren.
und im nächstem Schritt schaue ich dann, ob es das selbe ist.
Nun ist dieses "1" ja oft ein k und dafür setze ich dann ein "n+1" ein.
Aber bei dieser mir so verhassten Ungleichung ist es ja anders. Da wäre es ja ein n³ anstatt einem (n+1)³ liegt dass nun an dem (n-1) was über dem Summenzeichen liegt?
Also wenn ich das nun so wie eben vorgeschlagen rechne bzw aufschreibe kommt ja so was bei rum (ich hoffe dieses Mal ist es richtig *lach)
[mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + 3 < [mm] \bruch{(n+1)^4}{4}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{n^4 + 4n³}{4} [/mm] < [mm] \bruch{(n+1)^4}{4}
[/mm]
<=> [mm] n^4 [/mm] + 4n³ < [mm] n^4 [/mm] + 4n³ + 8n² + 4n + 1
was ja stimmen würde.... also dass die rechte Seite größer ist als die Linke.
Also QED?!
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> Ihr dürft mich schlagen...
Hallo,
das ist ja nun aufgrund der besonderen Art uneres Kontaktes nur schwer möglich - aber danke fürs Angebot...
> Bei Gleichungen ist es ja so, dass ich dann irgendwann für
> A(n) => A(n+1) setze... (ich versuche es mal verständlich
> zu beschreiben.. mal schauen obs klappt)
>
> So danach muss ich ja dieses n+1 = "n" mit dem "1"
> addieren.
>
> und im nächstem Schritt schaue ich dann, ob es das selbe
> ist.
>
> Nun ist dieses "1" ja oft ein k und dafür setze ich dann
> ein "n+1" ein.
Verstanden habe ich das überhaupt nicht.
Aber ich erklär's trotzdem:
Bei Induktionsbeweisen gibt es eine zu beweisende Behauptung A(n). (Hier [mm] \summe_{k=1}^{n-1}k^3<\bruch{n^4}{4} [/mm] )
Zunächst zeigt man im Induktionsanfang die Gültigkeit für ein bestimmtes n, etwa n=1. (Du tatest es für n=2.)
Dann nimmt man an, daß die Behauptung für alle natürlichen Zahlen bis zur Zahl n gilt. (Induktionannahme.)
Unter dieser Voraussetzung zeit man, daß auch A(n+1) gilt, also die Aussage, die entsteht, wenn man jedes n konsequent durch n+1 ersetzt.
(Hier ist zu zeigen: [mm] \summe_{k=1}^{(n+1)-1}k^3<\bruch{(n+1)^4}{4} [/mm]
Dies tut man, indem man unter Ausnutzung der Induktionsannahme umformt.
(Diesen Schritt vollziehen wir mit [mm] \summe_{k=1}^{(n}k^3= \summe_{k=1}^{n-1}k^3 [/mm] + [mm] n^3<\bruch{n^4}{4} +n^3.
[/mm]
Das [mm] n^3 [/mm] bekommen wir, wenn wir für k das n, die obere Summationsgrenze, einsetzen.)
>
>
> Aber bei dieser mir so verhassten Ungleichung ist es ja
> anders. Da wäre es ja ein n³ anstatt einem (n+1)³ liegt
> dass nun an dem (n-1) was über dem Summenzeichen liegt?
Ja.
[mm] \summe_{k=1}^{n-1}k^3=1^3+2^3+...+(n-1)^3
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+...+(n-1)^3+n^3
[/mm]
> Also wenn ich das nun so wie eben vorgeschlagen rechne bzw
> aufschreibe kommt ja so was bei rum (ich hoffe dieses Mal
> ist es richtig *lach)
>
> [mm]\bruch{n^4}{4}[/mm] + [mm] n^3 [/mm] < [mm]\bruch{(n+1)^4}{4}[/mm]
> <=> [mm]\bruch{n^4 + 4n³}{4}[/mm] < [mm]\bruch{(n+1)^4}{4}[/mm]
> <=> [mm]n^4[/mm] + 4n³ < [mm]n^4[/mm] + 4n³ + 8n² + 4n + 1
Abgesehen davon, daß [mm] (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1 [/mm] ist, steht dort viel richtiges.
Ich rate Dir für Induktionsbeweise von Ungleichungen von solchen Äquivalenzumformungen ab, man macht bei größeren Abschätzungen zu leicht Fehler.
Schreib es lieber als schöne Kette:
[mm] \bruch{n^4}{4} [/mm] + [mm] n^3 <\bruch{n^4 + 4n³}{4}<\bruch{n^4 + 4n³+6n^2+4n+1}{4}=\bruch{(n+1)^4}{4}
[/mm]
Gruß v. Angela
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
),
