Induktion bei reellen Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Aiseck |
| Aufgabe | Zeige durch Induktion, dass für reelle Zahlen A1,.....,An gilt:
|A1+....+An| [mm] \le [/mm] |A1|+.....+|An| |
Ich weiß nicht genau wie ich anfangen soll, da ich Induktion bis jetzt nur mit den natürlichen Zahlen kenne.... Dann fängt man mit A(1) an und beweißt für alle A(n+1). Aber jetzt muss ich für alle reellen Zahlen beweisen?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Aiseck,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Induktion funktioniert hier doch wie gehabt, da die einzelnen Werte [mm] $A_n$ [/mm] mit den natürlichen Zahlen [mm] $n\in\IN$ [/mm] durchnummeriert sind.
Dass die zugehörigen Zahlenwerte [mm] $A_n$ [/mm] reell sind, speilt beim Nachweis keine Rolle.
Also: einfach mal mit $n \ = \ 1$ (oder vielleicht besser hier: $n \ = \ 2$ ) beginnen und an die Dreiecksungleichung denken dabei  .
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Aiseck |
Sorry, aber ich steh da gerade absolut auf dem Schlauch....
Also:
1. (IA) : zeige A(1) gilt -> |1| [mm] \le [/mm] |1|
oder bei A(2) -> |1+2| [mm] \le [/mm] |1|+|2| [mm] \gdw [/mm] |3| [mm] \le [/mm] |3|
(Wenn man A(2) beweißt müsste man aber auch noch explizit A(1)
beweisen, oder nicht?)
2. (IV) : Nehme an A(n) wäre bewiesen
3. (IS) : ?? Ich meine die Dreiecksuingleichung besagt doch schon |x+y| [mm] \le [/mm] |x|+|y| finde keinen Einstieg...
|A1+....+An+1| [mm] \le [/mm] |A1|+......+|An+1| ??
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich will Dir die Aufgabe nochmal erklären.
>>> Zeige durch Induktion, dass für reelle Zahlen [mm] A_1,.....,A_n [/mm] gilt:
>>> [mm] |A_1+....+A_n| [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] |A_1|+.....+|A_n| [/mm]
In Worten: wenn Du n reelle Zahlen hast, die Du addierst, und wenn Du von dieser Summe den Betrag bildest, so ist das kleiner, als wenn Du die Beträge der n Zahlen summierst.
[mm] A_1 [/mm] steht da oben nicht für die 1, sondern für die erste reelle Zahl Deiner Summation, [mm] A_2 [/mm] für die zweite usw.
Induktionsanfang: Hier mußt Du zeigen, daß die Aussage für n=2 stimmt, wenn Du also nur zwei reelle Zahlen hast.
(Hier kannst Du Dich auf die Dreiecksungleichung berufen, wenn die bereits bewiesen wurde)
Induktionsvoraussetzung: die Aussage gelte für n reelle Zahlen [mm] A_1, ...A_n
[/mm]
Induktionsschluß: hier ist zu zeigen, daß dann folgt, daß die Aussage auch für n+1 reelle Zahlen gültig ist,
daß also [mm] |A_1+....+A_{n+1}| [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] |A_1|+.....+|A_{n+1}| [/mm] richtig ist.
Starte mit
[mm] |A_1+....+A_{n+1}| [/mm] = [mm] |(A_1+....+A_n)+A_{n+1}| \le [/mm] ...
Gruß v. Angela
|
|
|
|
