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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Mo 10.11.2008 | | Autor: | jos3n |
| Aufgabe | [mm] (\summe_{i=1}^{n} x_{i})*(\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i}) \ge n^{2}
[/mm]
[mm] x_{i} [/mm] sind positive reelle Zahlen.
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Hallo zusammen. Also ich fange ganz normal an.
I. A.: n=1 [mm] \Rightarrow x_{1}/x_{1} \ge [/mm] 1²
Beim I. S. von n nach n+1 komme ich nicht ganz weiter.
Ich hab dann raus:
[mm] (\summe_{i=1}^{n+1} x_{i})*(\summe_{i=1}^{n+1} 1/x_{i}) \ge (n+1)^{2}
[/mm]
Und jetzt hänge ich ein bischen. Die Summen aufsplitten und die Klammern ausmultiplizieren???
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.
MfG euer Jo*
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 10.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Jo*,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> Und jetzt hänge ich ein bischen. Die Summen aufsplitten und
> die Klammern ausmultiplizieren???
>
Ja, ich meine, das bringt's. Beweise aber vorher (durch Induktion):
[mm] $\frac{1}{a}\sum_{i=1}^nx_i+a\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\ge [/mm] 2n$
fuer alle [mm] $a,x_1,\dots,x_n>0$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 10.11.2008 | | Autor: | jos3n |
Ich hab da nu sowas stehen: [mm] (\summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] + [mm] x_{n+1})*(\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i} [/mm] + [mm] 1/x_{n+1})
[/mm]
stimmt das? also beim I.S. von n nach n+1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 10.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ich hab da nu sowas stehen: [mm](\summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm] + [mm]x_{n+1})*(\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i}[/mm] + [mm]1/x_{n+1})[/mm]
>
> stimmt das? also beim I.S. von n nach n+1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber du hast doch ein Ausmultiplizieren versprochen ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 10.11.2008 | | Autor: | jos3n |
ja schon klar:
[mm] (\summe_{i=1}^{n} x_{i})*(\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i}) [/mm] + [mm] x_{n+1}*\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i} [/mm] + [mm] 1/x_{n+1}\summe_{i=1}^{n} x_{i} \ge n^{2} [/mm] + 2n
und nu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 10.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> ja schon klar:
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm](\summe_{i=1}^{n} x_{i})*(\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i})+
x_{n+1}*\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i} +
1/x_{n+1}\summe_{i=1}^{n} x_{i} +1[/mm]
>
> und nu?
Und nu denken.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 10.11.2008 | | Autor: | jos3n |
also:
a [mm] \ge [/mm] b und c [mm] \ge [/mm] d [mm] \Rightarrow [/mm] a+c [mm] \ge [/mm] b+d
auf die aufgabe bezogen:
[mm] \Rightarrow x_{n+1}*\summe_{i=1}^{n} 1/x_{i} +1/x_{n+1}*\summe_{i=1}^{n} x_{i} \ge [/mm] 2n
ist das nu äquivalent hierzu??
[mm] \summe_{i=1}^{n} x_{n+1}*1/x_{n+1}(x_{i} [/mm] + [mm] 1/x_{i})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein ich versteh dein vorgehen nicht! Luis hat dir doch nen richtigen Hinweis gegeben!
Gruss leduart
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