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Beweisen sie die Folge [mm] a_{n+1}=2a_n(1-a_n) [/mm] mit [mm] a_1= [/mm] 0,5+x, x [mm] \in [/mm] R:
[mm] a_{n+1}=0,5(1-(2x)^{2^n}) [/mm] für n=1,2,3...
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Ich habe ein Problem bei dem Ind.-Schluss. Kann man [mm] a_3 [/mm] zugrunde legen. Dann a4 angeben und daraus von [mm] a_n [/mm] auf [mm] a_{n+1} [/mm] schließen? Oder muss man nur mit an etwas machen, um auf [mm] a_{n+1} [/mm] zu kommen. Wie würde man das denn aufschreiben (ohne oder mit [mm] a_1)?Ohne a_1 [/mm] geht es ja eigentlich nicht,wegen des x´.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissMarple,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Lieder ist Deine explizite Darstellung der Folge nicht zu erkennen (z.B. worauf sich das "hoch n" bezieht). Für den Induktionsschritt beginnst Du am besten so:
[mm] $$a_{n+2} [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{a_{n+1}}*\left(1-\blue{a_{n+1}}\right) [/mm] \ = \ ...$$
Nun jeweils für [mm] $\blue{a_{n+1}}$ [/mm] die entsprechende explizite Form einsetzen und umformen.
Gruß
Loddar
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Hallo,
ähhm ja. Was soll ich denn für [mm] a_{n+1} [/mm] einsetzen? Ich habe doch nur [mm] a_{1} [/mm] gegeben? Ich muss in die Ausgangsgleichung ja irgendwie das x mit ins Spiel kriegen. Geht ja nur durch [mm] a_{1}. [/mm] Oder habe ich da einen Denkfehler?
Das "hoch n" konnte ich nicht anders schreiben: Der Exponent von (2x) ist [mm] 2^{n}.
[/mm]
Danke trotzdem schon einmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissMarple!
$$ [mm] a_{n+2} [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\blue{a_{n+1}}\cdot{}\left(1-\blue{a_{n+1}}\right) [/mm] \ = \ [mm] 2\cdot{}\blue{0.5*\left[1-(2x)^{2^n}\right]}\cdot{}\left(1-\blue{0.5*\left[1-(2x)^{2^n}\right]}\right) [/mm] \ = \ $$
Nun hier weiter zusammenfassen und umformen, bis man [mm] $0.5*\left[1-(2x)^{2^{n+1}}\right]$ [/mm] erhält.
Gruß
Loddar
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