Induktion (Ungleichung) n! < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 So 22.10.2006 | | Autor: | sansunny |
| Aufgabe | | $n! < [mm] \left(\bruch{n}{2}\right)^n$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Huhu ich soll diese Aufgabe per vollständiger Induktion zeigen, nun komme ich aber irgendwie nicht weiter, den induktions anfang habe ich gezeigt, aber beim schritt fehlt mir etwas. In der Aufgabe steht das ich den Binomischen Lehrsatz anwenden soll, aber ich weiß nicht genau wo.
also ich wollte eben zeigen das
(n/2) (hoch) n * (n+1)
gleich
((n+1)/2) (hoch) (n+1)
ist, aber irgendwie komme ich immer nur auf
((n(hoch)2n+1)/2n)
Hilfe bitte dringend =/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
es ist
[mm] \left (\frac{n+1}{2}\right )^{n+1}=\left ( \frac{n}{2}\right )^n\:\:\cdot\:\: \left ( \frac{2}{n}\cdot\frac{n+1}{2}\right )^n\cdot \frac{n+1}{2}
[/mm]
= [mm] \left ( \frac{n}{2}\right )^n\:\:\cdot\:\: \left (\frac{n+1}{n}\right )^n\cdot \frac{n+1}{2}
[/mm]
und wenn man also
[mm] \left (\frac{n+1}{n}\right )^n\cdot \frac{n+1}{2}\:\: [/mm] geq [mm] \:\: n+1\:\:\:\: (\star)
[/mm]
zeigen kann, so klappt die Induktion, nicht wahr ?
[mm] (\star) [/mm] ist offenbar äquivalent zu
[mm] \left ( \frac{n+1}{n}\right )^n\:\: \geq\:\: [/mm] 2
(nur Umformen !),
und das verbleibt also noch zu zeigen.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Mo 23.10.2006 | | Autor: | sansunny |
aber wie kommst du auf die 2. gleichung?
hast du das einfach auseinander geschrieben?
irgendwie sehe ich da nich nicht ganz so durch
und was bedeutet geq?
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> und was bedeutet geq?
Das ist ein mißglücktes [mm] \geq [/mm] .
> aber wie kommst du auf die 2. gleichung?
[mm] \left (\frac{n+1}{2}\right )^{n+1}
[/mm]
[mm] =\left (\frac{n+1}{2}\right )^{n}\cdot \frac{n+1}{2}
[/mm]
[mm] =\left (\frac{n(n+1)}{2n}\right )^{n}\cdot \frac{n+1}{2}
[/mm]
= $ [mm] \left ( \frac{n}{2}\right )^n\:\:\cdot\:\: \left (\frac{n+1}{n}\right )^n\cdot \frac{n+1}{2} [/mm] $
Wenn Du nun zeigen kannst, daß $ [mm] \left ( \frac{n+1}{n}\right )^n\:\: \geq\:\: [/mm] $ 2 , bist Du so gut wie fertig.
Und warum ist $ [mm] \left ( \frac{n+1}{n}\right )^n\:\: \geq\:\: [/mm] $ 2 ? Wende den binomischen Lehrsatz an.
Achtung,Achtung: Luis 52 hat eine wichtige Mitteilung gemacht, die Behauptung gilt nämlich nicht für alle n [mm] \in \N.
[/mm]
Hast Du wirklich einen funktionierenden Induktionsanfang? Wenn Du den nicht hast, kannst Du nämlich toll und richtig rechnen, es ist alles für die Tonne: ohne Induktionsanfang keine Induktion...
Du mußt also erstmal gucken,ob Du überhaupt ein n [mm] \in \IN [/mm] findest, für welches die Behauptung gilt. (Aber ich kann Dich beruhigen: ich habe in "Kopfrechenentfernung" eines finden können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Mo 23.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo sansunny,
fuer welche $n$ soll die Ungleichung denn gelten?
Sicherlich nicht fuer *alle* natuerlichen Zahlen,
denn [mm] $1!=1\not<1/2=(1/2)^1$.
[/mm]
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