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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 So 26.10.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n} k^{3} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}=(\summe_{i=1}^{n}k)^{2} [/mm] |
den ersten Teil hab ich schon per Induktion Bewiesen, also
[mm] \summe_{i=1}^{n} k^{3} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
[/mm]
zum zweiten Teil bekomme ich keine gut Idee
habe angefangen mit
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} k^{3}=\summe_{i=1}^{n} k^{3} +(n+1)^{3}=(\summe_{i=1}^{n}k)^{2} +(n+1)^{3}
[/mm]
jetzt muss ich das ja in die Summe ziehen, sodass ich
[mm] (1+2+...+n+(n+1))^{2} [/mm] habe. Das gelingt mir allerdings nicht.
Meine zweite Möglickeit war
[mm] (\summe_{i=1}^{n+1}k)^{2}=(\summe_{i=1}^{n}k [/mm] + [mm] n+1)^{2}
[/mm]
dann das (n+1) rausziehen, was wohl schwer wegen binomischer Formel geht und mit dem Bruch [mm] \bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] weiterzumachen
Wie könnte ich noch an diesen Teil der Aufgabe gehen?
LG
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Hallo SpoOny,
dein zweiter Weg scheint mir der vielversprechende zu sein, zeige, dass die rechte Seite gleich der Mitte ist, der Rest folgt mit deinem zuerst Gezeigten...
Also [mm] $\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}k\right)^2=\left[\left(\sum\limits_{k=1}^{n}k\right)+(n+1)\right]^2=\left(\sum\limits_{k=1}^nk\right)^2+\left[2\cdot{}(n+1)\cdot{}\sum\limits_{k=1}^nk\right]+(n+1)^2$ [/mm] (binomische Formel)
[mm] $\underbrace{=}_{IV}\frac{n^2(n+1)^2}{4}+2(n+1)\cdot{}\underbrace{\frac{n(n+1)}{2}}_{\text{Summe der ersten n nat. Zahlen}}+(n+1)^2$ [/mm] ...
Das forme nun weiter um, bis du $... [mm] =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$ [/mm] bekommst
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 So 26.10.2008 | | Autor: | SpoOny |
danke schön, habs verstanden. Ich setz mich gleich ran (-:
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