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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:29 Do 13.12.2012 | | Autor: | Wadka |
| Aufgabe | Die Fibonacci-Zahlenfolge ist wie folgt definiert:
[mm] F_{2}:= [/mm] 1; [mm] F_{1}:= [/mm] 1; Für n > 1 : [mm] F_{n}:= F_{n-1} [/mm] + [mm] F_{n-2}
[/mm]
Des Weiteren definieren wir für jede natürliche Zahl n [mm] \varepsilon \IN [/mm] zwei Zahlen M(n) und K(n) wie folgt:
M(n):= [mm] min\{m \varepsilon \IN | m \ge \bruch{n}{2}\}
[/mm]
K(n):= n - M(n)
Zeigen Sie, dass für alle n [mm] \varepsilon \IN [/mm] gilt:
[mm] F_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{K(n)} \vektor{M(n) + i \\ K(n) - i} [/mm] |
Hey, also mein Induktionsanfang steht. Denke mal den muss ich hier nicht noch reinschreiben.
In meiner Induktionsvoraussetzung setze ich vorraus, dass die Behauptung für [mm] F_{n} [/mm] und für [mm] F_{n+1} [/mm] gilt.
Wie ich den Induktionsschluss machen muss ist mir auch klar, und habe einen guten Ansatz, aber leider komme ich bei der Rechnung nicht mehr weiter.
Das habe ich bis jetzt:
[mm] F_{n+2} [/mm] = [mm] F_{n+1} [/mm] + [mm] F_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{K(n+2)} \vektor{M(n+2) + i \\ K(n+2) - i}
[/mm]
IV
[mm] F_{n+1} [/mm] + [mm] F_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{K(n+1)} \vektor{M(n+1) + i \\ K(n+1) - i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{K(n)} \vektor{M(n) + i \\ K(n) - i}
[/mm]
Fall 1: n ist gerade
[mm] \Rightarrow [/mm] M(n) = [mm] \bruch{n}{2} [/mm] K(n) = n - [mm] \bruch{n}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}
[/mm]
M(n+1) = [mm] \bruch{n}{2} [/mm] +1 K(n+1) = [mm] (n+1)-(\bruch{n+1}{2})= \bruch{n}{2} [/mm] -1
[mm] \summe_{i=0}^{\bruch{n}{2} -1} \vektor{\bruch{n}{2} +1 + i \\ \bruch{n}{2} -1 - i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\bruch{n}{2}} \vektor{\bruch{n}{2} + i \\ \bruch{n}{2} - i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\bruch{n}{2} -1} \vektor{\bruch{n}{2} +1 + i \\ \bruch{n}{2} -1 - i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\bruch{n}{2} -1} \vektor{\bruch{n}{2} + i \\ \bruch{n}{2} - i} [/mm] + [mm] \vektor{\bruch{n}{2} + i \\ \bruch{n}{2} - i} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\bruch{n}{2} -1} \vektor{\bruch{n}{2} + i \\ \bruch{n}{2} -1 - i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\bruch{n}{2} -1} \vektor{\bruch{n}{2} + i \\ \bruch{n}{2} -2 - i} [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{\bruch{n}{2} -1} \vektor{\bruch{n}{2} + i \\ \bruch{n}{2} - i} [/mm] + [mm] \vektor{\bruch{n}{2} + i \\ \bruch{n}{2} - i}
[/mm]
Irgendwie bringt mich das nicht weiter...
Kann ich noch weiter rechnen? Wenn ja, wie?
Wenn nicht, was habe ich übersehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 15.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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