Induktion - ja oder nein(?) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Di 14.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass für alle x, y [mm] \in \IR [/mm] mit x > y die Ungleichung exp(x) > exp(y) gilt.
Benutzen Sie dafür nur die Definition der Exponentialfunktion über die Reihe, und bereits
bewiesene Eigenschaften! |
Hallo.
Komme hier nicht ganz klar.
Also, spontan würde ich ja Induktion machen, aber klappt das hier bzw. ist das ratsam?
Ich kenne die Defintion der Exponentialfunktion:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!} [/mm] aber was soll die mir helfen?
Danke ;) Gruß
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Hallo SolRakt,
> Also, spontan würde ich ja Induktion machen, aber klappt
> das hier bzw. ist das ratsam?
>
> Ich kenne die Defintion der Exponentialfunktion:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}[/mm] aber was soll die
> mir helfen?
Wie wärs mit gliedweisem Vergleich?
Wenn [mm] n\in\IN [/mm] ist und x>y, was gilt dann für [mm] x^n [/mm] in Relation zu [mm] y^n?
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:54 Mi 15.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Dann gilt ja auch [mm] x^{n} [/mm] < [mm] y^{n} [/mm] Aber was genau meinst du jetzt mit gliedweisem vergleich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mi 15.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann gilt ja auch [mm]x^{n}[/mm] < [mm]y^{n}[/mm]
Nicht umbedingt. Ob das gilt haengt von den Vorzeichen etc. ab.
Schau dir lieber das an, was Fred vorschlaegt. Die Methode von reverend funktioniert glaube ich erstmal nur fuer $y > x [mm] \ge [/mm] 0$. (Und dann muss man einen Trick aehnlich wie in der Antwort von Fred benutzen; deswegen kann man es auch gleich so machen wie er es vorschlaegt...)
LG Felix
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> Wie wärs mit gliedweisem Vergleich?
> Wenn [mm]n\in\IN[/mm] ist und x>y, was gilt dann für [mm]x^n[/mm] in
> Relation zu [mm]y^n?[/mm]
Guten Tag reverend,
für $x=2$ und $y=-3$ gilt $x>y$
Nehmen wir etwa $n=2$
Vergleiche [mm] x^n [/mm] und [mm] y^n [/mm] !
...... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Mi 15.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
ich war in der Tat von [mm] x>y\ge{0} [/mm] ausgegangen, ohne dass die Aufgabe dazu Anlass gegeben hätte.
Danke für den Hinweis, auch an Felix und Fred.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Weisen Sie nach, dass für alle x, y [mm]\in \IR[/mm] mit x > y die
> Ungleichung exp(x) > exp(y) gilt.
> Benutzen Sie dafür nur die Definition der
> Exponentialfunktion über die Reihe, und bereits
> bewiesene Eigenschaften!
>
>
> Hallo.
>
> Komme hier nicht ganz klar.
>
> Also, spontan würde ich ja Induktion machen, aber klappt
> das hier bzw. ist das ratsam?
Nein.
>
> Ich kenne die Defintion der Exponentialfunktion:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{n}}{n!}[/mm] aber was soll die
> mir helfen?
Ihr habt sicher schon gezeigt, dass [mm] e^{a+b}= e^a*e^b [/mm] ist.
Anders geschrieben lautet Deine Aufgabe: ist x>y , so zeige: [mm] e^{x-y}>1
[/mm]
Oder: ist a>0, so zeige: [mm] e^a>1
[/mm]
Dazu verwende die Def. der Exp.-Funktion
FRED
>
> Danke ;) Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:15 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ähm, geht das dann so?
[mm] e^{y-x} [/mm] > 1
exp(y) = exp(y -x +x) = exp(y-x) * exp(x) > exp(x)
Damit folgt die Behauptung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Do 16.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ähm, geht das dann so?
>
> [mm]e^{y-x}[/mm] > 1
>
> exp(y) = exp(y -x +x) = exp(y-x) * exp(x) > exp(x)
Wenn y>x ist und Du gezeigt hast, dass [mm]e^{y-x}[/mm] > 1 ist, dann geht das so.
FRED
>
> Damit folgt die Behauptung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Do 16.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja das haben wir in der Übung mal gezeigt. Super. Danke vielmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Do 16.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Weisen Sie nach, dass für alle x, y [mm]\in \IR[/mm] mit x > y die
> Ungleichung exp(x) > exp(y) gilt.
> Benutzen Sie dafür nur die Definition der
> Exponentialfunktion über die Reihe, und bereits
> bewiesene Eigenschaften!
>
>
> Hallo.
>
> Komme hier nicht ganz klar.
>
> Also, spontan würde ich ja Induktion machen, aber klappt
> das hier bzw. ist das ratsam?
dann mußt Du genau(er) sagen, wie Du hier Induktion anwenden willst. Induktion über [mm] $x\,$ [/mm] oder [mm] $y\,$ [/mm] kann schon deswegen nicht (jedenfalls nicht ohne weiteres) gehen, weil [mm] $\IR$ [/mm] überabzählbar ist.
Gruß,
Marcel
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