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| Aufgabe | Beweise, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1}\vektor{n\\ k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] |
Hallo zusammen!
Am besten schreibe ich einfach mal wie weit ich bei der Aufgabe gekommen bin.. Also Induktionsanfang ist kein Problem,
was mich zur Voraussetzung bringt:
IV: [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Also: n --> n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1\\ k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1\\ k} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{n+2} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1} *(\vektor{n\\ k}\vektor{n\\ k-1})+ \bruch{(-1)^n}{n+2}
[/mm]
dann nach auseinanderziehen und einsetzen der IV ergibt sich ja:
[mm] \bruch{1}{n+1}+ \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1}(\vektor{n\\ k-1} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{n+2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n+1}+ \summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1}(\vektor{n\\ k-1} [/mm] - 1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{n+2}
[/mm]
und dann habe ich eine indexverschiebung "versucht"
für k=m+1
= [mm] \bruch{1}{n+1}+ \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{(-1)^m+1}{m+2}\vektor{n\\ k} [/mm] - 1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{n+2}
[/mm]
tja, und jetzt fängt es an.. was mach ich nun? stimmt das bis hierhin überhaupt oder befinde ich mich auf dem ganz falschen Weg.. würde mich sehr über Hilfe freuen,
liebe Grüße, Christina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Christina,
> Am besten schreibe ich einfach mal wie weit ich bei der
> Aufgabe gekommen bin.. Also Induktionsanfang ist kein
> Problem,
> was mich zur Voraussetzung bringt:
>
> IV: [mm]\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
Du meinst sicher [mm] $\summe_{k=0}^n\bruch{(-1)^k}{k+1}{n \choose k}=\bruch{1}{n+1}$.
[/mm]
>
> Also: n --> n+1
>
[mm]\summe_{k=0}^{n+1} \bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1\\ k}
=
\summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n+1\\ k} +
\bruch{(-1)^n}{n+2} = \summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{k+1} *(\vektor{n\\ k}\vektor{n\\ k-1})+ \bruch{(-1)^n}{n+2}[/mm]
So, dies ist jetzt falsch. In der Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten steht eine Summe und kein Produkt.
Schau Dir nochmal die Indexverschiebung an.
Dabei addiert man eine Zahl zu den Indexgrenzen und subtrahiert dieselbe Zahl vom Index. Mit der Zahl $-1$ erhält man z. B.:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^k} {k+1}{n\choose k-1}=\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{(-1)^{k+1}} [/mm] {k+2} [mm] {n\choose k}$
[/mm]
Viel Erfolg,
Wolfgang
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Ohje, da lag wohl eher mein Problem im korrekten Formel eingeben als bei der Umschreibung, denn du hebst genau das Problem hervor, was ich habe.
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^k} {k+1}{n\choose k-1}=\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{(-1)^{k+1}} [/mm] {k+2} [mm] {n\choose k} [/mm] $
Soweit bin ich gestern abend auch gekommen, habe dann allerdings an dieser Stelle keine Ahnung wie ich die Summe umschreiben kann, da das k+2 im Nenner steht und ich ja so nichts auseinanderziehen kann, oder?. Mir fehlt an der Stelle die nötige Idee irgendwie die IV noch einmal einsetzen zu können. Normalerweise würde ich ja, wenn (k+2) nicht im Nenner stehen würde die Summe einfach wieder auseinanderziehen, was aber doch hier in dem Fall nicht geht, oder?
Liebe Grüße!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 So 23.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hi Chrischina,
Ich bin echt auf einen Beweis der Formel gespannt. Ich habe ihn jedenfalls nicht geschafft. Tut mir leid.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:43 So 23.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hat jemand eine Beweisidee für
[mm] $\summe_{k=0} [/mm] ^n [mm] \bruch {(-1)^k} [/mm] {k+1} {n [mm] \choose [/mm] k} = [mm] \bruch [/mm] 1 {n+1}$?
Gespannt,
Wolfgang
Bitte die Frage als beantwortet kennzeichen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:23 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Jetzt habe ich einen Beweis, allerdings ohne Induktion, gefunden!
Wir sollen
$\summe_{k=0}^n (-1)^k \bruch {n+1} {k+1}{n\choose k}=1$
zeigen. Nun ist
$\bruch {n+1} {k+1} {n\choose k}$
$ = \bruch {(n+1)*n!} {(k+1)*k!*(n-k)!}$
$=\bruch {(n+1)!} {(k+1)!*(n+1-(k+1))!$
$={n+1 \choose k+1}$.
Und damit
$\summe_{k=0}^n (-1)^k \bruch {n+1} {k+1}{n\choose k}$
$=-\summe_{k=0}^n (-1)^{k+1} {n+1\choose k+1}$
$=-\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k{n+1\choose k}$
$=-\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k{n+1\choose k}+1$
$= -(1-1)^{n+1} + 1$
$= 1$.
Fertig.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Chrischina |
Hallo!
Du hast recht, wenn mans auf die Art versucht ist es ja sture Rechnerei. Ich danke dir vielmals und hoffe, dass die Induktion nicht gefordert ist.
Liebe Grüße,
Christina
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