Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für positive n [mm] \in \IN [/mm] a-b Teiler von [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n} [/mm] ist. |
Hallo nochmal,
also ich habe hier so meine Probleme mit der Aufgabe.
Zuerst habe ich den
Induktionsanker:
n = 0 = a -b | [mm] a^{0} [/mm] - [mm] b^{0} [/mm] = a-b | 0 , stimmt.
Induktionsvoraussetzung:
Annahme, gilt für [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsschritt:
n -> n+1
Hier weiß ich nicht mehr weiter.
Ich muss ja auf a - b | [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm] kommen.
Wie stelle ich das an ?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Do 05.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie, dass für positive n [mm]\in \IN[/mm] a-b Teiler von
> [mm]a^{n}[/mm] - [mm]b^{n}[/mm] ist.
das kann man mehr oder weniger relativ schnell einsehen, wenn man
[mm] $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-(k+1)}$
[/mm]
beweist. Und das ginge auch ohne Induktion (Du kannst diese Gleichheit
aber auch induktiv beweisen):
[mm] $(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-(k+1)}=...=\left(\sum_{\ell=1}^n a^{\ell}b^{n-\ell}\right)-\sum_{k=0}^{n-1}a^k b^{n-k}=...=a^n-b^n\,.$
[/mm]
> Hallo nochmal,
>
> also ich habe hier so meine Probleme mit der Aufgabe.
> Zuerst habe ich den
> Induktionsanker:
>
> n = 0 = a -b | [mm]a^{0}[/mm] - [mm]b^{0}[/mm] = a-b | 0 , stimmt.
>
> Induktionsvoraussetzung:
> Annahme, gilt für [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> n -> n+1
>
> Hier weiß ich nicht mehr weiter.
> Ich muss ja auf a - b | [mm]a^{n+1}[/mm] - [mm]b^{n+1}[/mm] kommen.
> Wie stelle ich das an ?
Na, die Idee ist einfach: Du willst
[mm] $a^{n+1}-b^{n+1}=\text{Term(e) mit }(a^n-b^n)+\text{Zusatz}$
[/mm]
schreiben.
Tipp:
[mm] $a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+ab^n-b^{n+1}=a*(a^n-b^n)+b^n*(a-b)\,.$
[/mm]
Der zweite Summand ganz rechts ist sicher durch [mm] $a-b\,$ [/mm] teilbar - was weißt Du
nach I.V. über den ersten Summanden?
P.S. Damit meine erste Formel, die ich erwähnte:
[mm] $a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-(k+1)}\,,$
[/mm]
nicht ganz so vom Himmel fällt: Berechne mal
[mm] $(a^n-b^n):(a-b)\,$
[/mm]
per Polynomdivision (meinetwegen auch erstmal konkret für $n=1,2,3,4,5,6,...$)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
danke erstmal für die Antwort.
> [mm]a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+ab^n-b^{n+1}=a*(a^n-b^n)+b^n*(a-b)\,.[/mm]
>
> Der zweite Summand ganz rechts ist sicher durch [mm]a-b\,[/mm]
> teilbar - was weißt Du
> nach I.V. über den ersten Summanden?
Also , das erkenne ich auch, dass der zweite Summand ganz rechts durch (a-b) teilbar ist , da dort im Summanden selber (a-b) ist.
Über den ersten Summanden weiß ich das hier:
(a-b) | [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n}
[/mm]
Noch eine kleine Frage , wenn es erlaubt ist:
Wir sollten ja von [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n} [/mm] auf [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm] kommen.
Das hast du erreicht, indem du das hier gemacht hast( verkürzt):
a [mm] (a^{n} [/mm] - [mm] b^{n} [/mm] ) + [mm] b^{n} [/mm] (a-b) = [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] ab^{n} [/mm] + [mm] ab^{n} [/mm] - [mm] b^{n+1} [/mm] = [mm] a^{n+1} [/mm] - [mm] b^{n+1}
[/mm]
Nur zum Verständnis:
Du hast also einfach [mm] a^{n} [/mm] - [mm] b^{n} [/mm] anders aufgeschrieben, oder ?
>
> P.S. Damit meine erste Formel, die ich erwähnte:
>
> [mm]a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-(k+1)}\,,[/mm]
>
> nicht ganz so vom Himmel fällt: Berechne mal
>
> [mm](a^n-b^n):(a-b)\,[/mm]
>
> per Polynomdivision (meinetwegen auch erstmal konkret für
> [mm]n=1,2,3,4,5,6,...[/mm])
Habs für n=2 mal gemacht:
[mm] (a^{2} [/mm] - [mm] b^{2}) [/mm] : (a-b) = a + b
[mm] -(a^{2} [/mm] -ba)
_______________
ba
-(ba [mm] -b^{2} [/mm] )
______________________
[mm] b^{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Do 05.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> danke erstmal für die Antwort.
>
>
>
>
> >
> [mm]a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+ab^n-b^{n+1}=a*(a^n-b^n)+b^n*(a-b)\,.[/mm]
> >
> > Der zweite Summand ganz rechts ist sicher durch [mm]a-b\,[/mm]
> > teilbar - was weißt Du
> > nach I.V. über den ersten Summanden?
>
> Also , das erkenne ich auch, dass der zweite Summand ganz
> rechts durch (a-b) teilbar ist , da dort im Summanden
> selber (a-b) ist.
>
> Über den ersten Summanden weiß ich das hier:
> (a-b) | [mm]a^{n}[/mm] - [mm]b^{n}[/mm]
>
> Noch eine kleine Frage , wenn es erlaubt ist:
>
> Wir sollten ja von [mm]a^{n}[/mm] - [mm]b^{n}[/mm] auf [mm]a^{n+1}[/mm] - [mm]b^{n+1}[/mm]
> kommen.
> Das hast du erreicht, indem du das hier gemacht hast(
> verkürzt):
>
> a [mm](a^{n}[/mm] - [mm]b^{n}[/mm] ) + [mm]b^{n}[/mm] (a-b) = [mm]a^{n+1}[/mm] - [mm]ab^{n}[/mm] +
> [mm]ab^{n}[/mm] - [mm]b^{n+1}[/mm] = [mm]a^{n+1}[/mm] - [mm]b^{n+1}[/mm]
>
> Nur zum Verständnis:
> Du hast also einfach [mm]a^{n}[/mm] - [mm]b^{n}[/mm] anders aufgeschrieben,
> oder ?
nein, ich habe [mm] $a^{\red{n+1}}-b^{\red{n+1}}$ [/mm] anders aufgeschrieben, und dabei insbesondere
[mm] $a^n-b^n$ [/mm] "reingeschmuggelt". Das ist eigentlich ein gängiger
"Trick" (siehe etwa Rechenregel für Produkt zweier diff'barer Funktionen...):
[mm] $a^{n+1}-b^{n+1}=a*(a^n-b^n)-b^{n+1}+\text{Korrektur}$ [/mm]
>
>
> >
> > P.S. Damit meine erste Formel, die ich erwähnte:
> >
> > [mm]a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}b^{n-(k+1)}\,,[/mm]
> >
> > nicht ganz so vom Himmel fällt: Berechne mal
> >
> > [mm](a^n-b^n):(a-b)\,[/mm]
> >
> > per Polynomdivision (meinetwegen auch erstmal konkret für
> > [mm]n=1,2,3,4,5,6,...[/mm])
>
> Habs für n=2 mal gemacht:
> [mm](a^{2}[/mm] - [mm]b^{2})[/mm] : (a-b) = a + b
> [mm]-(a^{2}[/mm] -ba)
> _______________
> ba
> -(ba [mm]-b^{2}[/mm] )
> ______________________
> [mm]b^{2}[/mm]
Das solltest Du ruhig auch mal wenigstens noch für [mm] $n=3,4\,$ [/mm] durchrechnen...
(Für [mm] $n=2\,$ [/mm] geht's auch einfach: [mm] $a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,,$ [/mm] die dritte bin. Formel
sollte Dir schon noch nicht entfallen sein...  )
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Do 05.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
> Das solltest Du ruhig auch mal wenigstens noch für [mm]n=3,4\,[/mm]
> durchrechnen...
> (Für [mm]n=2\,[/mm] geht's auch einfach: [mm]a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,,[/mm] die
> dritte bin. Formel
> sollte Dir schon noch nicht entfallen sein... )
Niemals :D, die binom. Formel sind bei mri fest verankert.
Ich schreibe jetzt nicht den ganzen Rechenweg auf , aber für n=3 habe ich bei der Polynomdivision [mm] a^{2} [/mm] +ba [mm] +b^{2} [/mm] raus.
Hier gibt es bei der Aufgabe also zwei Möglichkeiten, um das ganze zu beweisen.
Entweder mit Polynomdivision ( im Induktionsschritt ) oder deine Umformung , wobei mir deine Umformung plausibler vorkommt.
Vielen Dank an euch beide.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Do 05.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
deine Aufgabe wurde hier schon mal bearbeitet!
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Do 05.12.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Oh, vielen Dank.
Jetzt verstehe ich auch , warum die Polynomdivision hier ins Spiel kam.
|
|
|
|
