Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] sei wie folgt rekursiv definiert:
[mm] a_{0}:=a, a_{1}:=b, a_{n}:= \bruch{1}{3} (2a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}) [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. |
Hallo.
Die Grenzwertbestimmung war kein Problem für mich bloß auf den Weg dahin habe ich eine induktion probiert die mir nicht ganz richtig erscheint.
Ich habe zunächst gezeigt, dass für alle k [mm] \ge [/mm] 1 gilt
[mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_{k} [/mm] = (- [mm] \bruch{1}{3}) (a_{k} [/mm] - [mm] a_{k-1})
[/mm]
Nun möchte ich durch vollständige Induktion nach k zeigen, dass [mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{3})^k [/mm] (b-a) [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Ich habe das nun wie folgt versucht:
Induktionsanfang
Für k=1
[mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (2a_{k} [/mm] + [mm] a_{k-1})= \bruch{2}{3} a_{k} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} a_{k-1} -a_{k}= [/mm] (- [mm] \bruch{1}{3}) (a_{k} [/mm] - [mm] a_{k-1})
[/mm]
= (- [mm] \bruch{1}{3}) (a_{1} [/mm] - [mm] a_{0})= [/mm] (- [mm] \bruch{1}{3})^1 [/mm] (b - a)=(- [mm] \bruch{1}{3})^k [/mm] (b - a)
Induktionsschritt
[mm] a_{(k+1)+1} [/mm] - [mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (2a_{k+1} [/mm] + [mm] a_{k})
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3} a_{k+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} a_{k} -a_{k+1}
[/mm]
= (- [mm] \bruch{1}{3}) (a_{k+1} [/mm] - [mm] a_{k})
[/mm]
= (- [mm] \bruch{1}{3}) [/mm] [- [mm] \bruch{1}{3}^k (a_{k} [/mm] - [mm] a_{k-1})]
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] [(- [mm] \bruch{1}{3})^k [/mm] (b - a)]
=(- [mm] \bruch{1}{3})^{k+1} [/mm] (b - a)
So nun bin ich mir aber bei dem Insuktionsschritt nicht so sicher...es wäre nett wenn jemand einen Blick drauf werfen könnte und mir sagen könnte was gegebenfalls falsch ist.
LG Schmetterfee
|
|
| |
|
> Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> sei wie folgt rekursiv definiert:
> [mm]a_{0}:=a, a_{1}:=b, a_{n}:= \bruch{1}{3} (2a_{n-1}[/mm] +
> [mm]a_{n-2})[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2.
> Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme ihren
> Grenzwert.
> Hallo.
>
> Die Grenzwertbestimmung war kein Problem für mich bloß
> auf den Weg dahin habe ich eine induktion probiert die mir
> nicht ganz richtig erscheint.
>
> Ich habe zunächst gezeigt, dass für alle k [mm]\ge[/mm] 1 gilt
> [mm]a_{k+1}[/mm] - [mm]a_{k}[/mm] = (- [mm]\bruch{1}{3}) (a_{k}[/mm] - [mm]a_{k-1})[/mm]
>
> Nun möchte ich durch vollständige Induktion nach k
> zeigen, dass [mm]a_{k+1}[/mm] - [mm]a_{k}[/mm] = [mm](\bruch{1}{3})^k[/mm] (b-a) [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
Hallo,
beim betrachten Deines Tuns komme ich zu der Auffassung, daß Du in Wahrheit [mm] $a_{k+1}$ [/mm] - [mm] $a_{k}$ [/mm] = [mm] $(-\bruch{1}{3})^k$ [/mm] (b-a)für alle k zeigen möchtest.
>
> Ich habe das nun wie folgt versucht:
> Induktionsanfang
> Für k=1
> [mm]a_{k+1}[/mm] - [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} (2a_{k}[/mm] + [mm]a_{k-1})= \bruch{2}{3} a_{k}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{3} a_{k-1} -a_{k}=[/mm] (- [mm]\bruch{1}{3}) (a_{k}[/mm] -
> [mm]a_{k-1})[/mm]
> = (- [mm]\bruch{1}{3}) (a_{1}[/mm] - [mm]a_{0})=[/mm] (- [mm]\bruch{1}{3})^1[/mm] (b
> - a)=(- [mm]\bruch{1}{3})^k[/mm] (b - a)
Dein Induktionsanfang ist nicht richtig. Du machst zuviel Tamtam und nichts Konkretes.
Wenn Du den Induktionsanfang für n=1 machen möchtest, dann mußt Du vorrechnen, daß [mm] a_2-a_1=(\bruch{1}{3})^1(b-a).
[/mm]
Wie lautet die Induktionsannahme?
>
> Induktionsschritt
> [mm]a_{(k+1)+1}[/mm] - [mm]a_{k+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3} (2a_{k+1}[/mm] + [mm]a_{k})[/mm][mm] \red{-a_{k+1}}
[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3} a_{k+1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3} a_{k} -a_{k+1}[/mm]
>
> = (- [mm]\bruch{1}{3}) (a_{k+1}[/mm] - [mm]a_{k})[/mm]
Setze hier gleich die Induktionsannahme ein.
> = (- [mm]\bruch{1}{3})[/mm] [- [mm]\bruch{1}{3}^k (a_{k}[/mm] - [mm]a_{k-1})][/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] [(- [mm]\bruch{1}{3})^k[/mm] (b - a)]
> =(- [mm]\bruch{1}{3})^{k+1}[/mm] (b - a)
Genau.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
