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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion
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Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Mi 29.09.2010
Autor: piccolo1986

Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes gilt:

[mm] 5^{2^{n-2}}=1+k2^n [/mm]    wobei k eine eine ungerade ganz Zahl ist. [mm] (n\ge [/mm] 3)

Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade ist. Leider komme ich aber nicht auf dieses Ergebnis. Kann mir evtl jemand helfen?

hier mal meine Überlegung:
zu zeigen ist, dass [mm] 5^{2^{n-3}}=1+k2^{n-1} [/mm] nicht gilt, weil k ungerade ist

Induktionsanfang: n=3
[mm] 5^{2^{3-3}}=5=1+k2^2=1+k2^{3-1} [/mm]   gilt für k=1

Induktionsvoraussetzung (I.V.): [mm] 5^{2^{n-3}}=1+k2^{n-1} [/mm]
Induktionsbehauptung (I.B.): [mm] 5^{2^{n-2}}=1+k2^{n} [/mm]

also:
[mm] 5^{2^{n-2}}=5^{2^{n-3}}+1=5^{2^{n-3}*2}=(5^{2^{n-3}})^2 [/mm]
mit der I.V. gilt dann:
[mm] (1+k2^{n-1})^2=1+2k2^{n-1}+k^2*2^{2n-2}=1+2k^n+k^2*2^{2n-2} [/mm] = [mm] 1+M*2^n [/mm]

dabei ist [mm] M=k+k^2*2^{n-2}. [/mm]
Nun müsste aber doch M gerade sein, damit ich die Behauptung zeige, aber da k nach Voraussetzung ungerade ist, ist doch auch M ungerade.

Hab ich irgendwo nen Denkfehler???


mfg
piccolo

        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mi 29.09.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes
> gilt:
>
> [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm]    wobei k eine eine ungerade ganz Zahl
> ist. [mm](n\ge[/mm] 3)

Hallo,

warum [mm] n\ge [/mm] 3?
Für n=2 funktioniert das ja auch.

>  
> Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige
> Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade
> ist.

Wer sagt das mit welchen Worten?
Wie lautet die Originalaufgabe?

Ich kapier's nicht. Wenn Du obige Aussage gezeigt hast, dann gilt natürlich [mm] $5^{2^{n-3}}=1+k*2^{n-1}$ [/mm] mit k ungerade, hier allerdings wirklich für [mm] n\ge [/mm] 3.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:55 Mi 29.09.2010
Autor: piccolo1986


>
> > Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes
> > gilt:
> >
> > [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm]    wobei k eine eine ungerade ganz Zahl
> > ist. [mm](n\ge[/mm] 3)
>  
> Hallo,
>  
> warum [mm]n\ge[/mm] 3?
>  Für n=2 funktioniert das ja auch.
>  
> >  

> > Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige
> > Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade
> > ist.
>
> Wer sagt das mit welchen Worten?
>  Wie lautet die Originalaufgabe?

hallo, ich habs aus nem Buch zur Zahlentheorie von Niven und Zuckerman, dort soll gezeigt werden, dass die Ordnung von 5 in der multiplikativen Gruppe modulo [mm] 2^n [/mm] gleich [mm] 2^{n-2} [/mm] ist, wenn [mm] n\ge [/mm] 3.
Dazu soll per Induktion gezeigt werden, dass gilt [mm] 5^{2^{n-2}}=1+k2^n [/mm] für k ungerade. Das hab ich auch hinbekommen, durch diese Gleichung gilt doch dann [mm] 5^{2^{n-2}}\equiv 1(mod2^{n}). [/mm]

Nun soll gezeigt werden, dass [mm] 2^{n-2} [/mm] aber tatsächlich sogar die Ordnung von 5 in dieser Gruppe ist, dadurch soll n durch (n-1) ersetzt werden. Hieraus soll dann wiederum folgen, dass [mm] 2^{n-3} [/mm] nicht die Ordnung von 5 in dieser Gruppe ist, weil k ungerade ist.
Muss man denn hier noch anders begründen, warum die Ordnung nicht [mm] 2^{n-3} [/mm] ist???

mfg piccolo

>  
> Ich kapier's nicht. Wenn Du obige Aussage gezeigt hast,
> dann gilt natürlich [mm]5^{2^{n-3}}=1+k*2^{n-1}[/mm] mit k
> ungerade, hier allerdings wirklich für [mm]n\ge[/mm] 3.
>  
> Gruß v. Angela
>  


Bezug
                        
Bezug
Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Mi 29.09.2010
Autor: angela.h.b.


> >
> > > Hallo, ich habe per Induktion bewiesen, dass folgendes
> > > gilt:
> > >
> > > [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm]    wobei k eine eine ungerade ganz Zahl
> > > ist. [mm](n\ge[/mm] 3)
>  >  
> > Hallo,
>  >  
> > warum [mm]n\ge[/mm] 3?
>  >  Für n=2 funktioniert das ja auch.
>  >  
> > >  

> > > Nun soll n durch n-1 ersetzt werden und, wodurch die obige
> > > Gleichung nicht mehr gültig sein soll, weil k ungerade
> > > ist.
> >
> > Wer sagt das mit welchen Worten?
>  >  Wie lautet die Originalaufgabe?
>  hallo, ich habs aus nem Buch zur Zahlentheorie von Niven
> und Zuckerman, dort soll gezeigt werden, dass die Ordnung
> von 5 in der multiplikativen Gruppe modulo [mm]2^n[/mm] gleich
> [mm]2^{n-2}[/mm] ist, wenn [mm]n\ge[/mm] 3.

>  Dazu soll per Induktion gezeigt werden, dass gilt
> [mm]5^{2^{n-2}}=1+k2^n[/mm] für k ungerade. Das hab ich auch
> hinbekommen, durch diese Gleichung gilt doch dann
> [mm]5^{2^{n-2}}\equiv 1(mod2^{n}).[/mm]
>  
> Nun soll gezeigt werden, dass [mm]2^{n-2}[/mm] aber tatsächlich
> sogar die Ordnung von 5 in dieser Gruppe ist, dadurch soll
> n durch (n-1) ersetzt werden. Hieraus soll dann wiederum
> folgen, dass [mm]2^{n-3}[/mm] nicht die Ordnung von 5 in dieser
> Gruppe ist, weil k ungerade ist.

Achso!
Du sollst jetzt also vorrechnen, daß [mm] 5^2^{n-3} [/mm] nicht konguent zu 1 mod [mm] 2^n [/mm] ist.

Demnach, was Du zuvor bewiesen hast, git es ein ungerades k mit

[mm] 5^2^{n-3}=1+k*2^{n-1}=1+\bruch{k}{2}*2^n, [/mm] und dieses [mm] \bruch{k}{2} [/mm] ist keine ganze Zahl.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:38 Mi 29.09.2010
Autor: piccolo1986

Ahh, da war mein Denkfehler, danke für die schnelle Antwort :-)


mfg piccolo

Bezug
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