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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Di 16.05.2006 | | Autor: | kOlli |
| Aufgabe | | Für alle n[mm]in IN[/mm] gilt [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm] |
Die Sache mit der vollständigen Induktion ist mir irgendwie nicht so geheuer, kann mir jemand vielleicht weiterhelfen? Nen Tipp geben zum Ansatz, mir irgendwie klar machen wie das anpackt?Also das Induktions-Prinzip ist mir klar,ich bräuchte vielleicht nen Denkanstoß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Di 16.05.2006 | | Autor: | dump_0 |
Hallo!
Laut Ind.anf. ist die Auss. für n=1 erfüllt, da
[mm] $\bruch{1}{1(1+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+1}$
[/mm]
Ind.vor.: Die Auss. gelte also für bel. $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Ind.schritt: Wenn die Aussage für bel. $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dann ist sie auch für $n + 1$ erfüllt, d.h. zu zeigen ist, dass
[mm] $\summe_{k=1}^{n + 1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n + 1}{n + 2}$ [/mm] ist.
Beweis:
[mm] $\summe_{k=1}^{n + 1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n + 1)(n + 2)}$ [/mm]
= [mm] $\bruch{n}{n + 1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n + 1)(n + 2)}$ [/mm] (laut Ind.vor. ist ja [mm] $\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n + 1}$ [/mm] )
= [mm] $\bruch{{(n + 2)n + 1}}{(n + 1)(n + 2)}$
[/mm]
= [mm] $\bruch{n^2 + 2n + 1}{(n + 1)(n + 2)}$
[/mm]
= [mm] $\bruch{(n + 1)(n + 1)}{(n + 1)(n + 2)}$
[/mm]
= [mm] $\bruch{n + 1}{n + 2}$
[/mm]
Damit ist die Auss. gültig für alle n + 1 und somit für alle n :)
Du musst also die Gültigkeit der Auss. für $n + 1$ mithilfe der Ind.vor. herleiten, was wir ja getan haben.
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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