Indirekter Beweis < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass fuer alle n [mm] \in \IN [/mm] die Zahl 6 ein Teiler von [mm] n^3-n [/mm] ist. Sie dürfen dabei verwenden,
dass n(n + 1) stets durch 2 teilbar ist. |
Hallo,
diese Aufgabe stammt aus der ersten Mathe Übung von HömaI.
Ich vermute das sie mithilfe eines indirekten Beweises Lösbar ist. Jedoch komme ich da nicht weiter.
Wenn n²+n Aussage B ist und diese als wahr bekannt ist, muss ich mit ihr ja [mm] n^3-n [/mm] "Aussage A" Beweisen und dazu brauche ich ja irgendeine Abhängigkeit zwischen den beiden Gleichungen(?).
Ich würde jetzt gerne mehr über meine Lösungswege schreiben, aber im Endeffekt stolpere ich von einer Sackgasse in die nächste.
Mal als Beispiel versuchte ich die Aussage B erst zu beweisen, indem ich k+1 einsetzte was zu keinen Ergebnis führte (Negative Zahlen). Daraus schloss ich einfach Das B nicht falsch sein kann und A gefälligst richtig zu sein hatte. Da das jedoch keinen zweiten Blick standhielt versuchte ich nun Aussage A zu beweisen in dem [mm] \neg [/mm] A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B versuchte zu beweisen.
Da hört es aber bei mir schon auf. Das Ergebnis von [mm] \neg [/mm] A soll ja nicht durch 6 teilbar sein. Aber wie stelle ich sowas dar? Bei Gerade/Ungerade gibt es ja nur zwei möglichkeiten, aber bei Aussage A gibt es ja insgesamt 6, fünf falsche, eine richtige.
Bevor ich auf die Idee mit den Indirkten Beweisen kam, habe ich was anderes Probiert.
Wenn ich
[mm] \bruch{n^3-n}{n^2+n} [/mm] berechne komme ich auf auf das Ergebnis n-1.
Wenn ich nun:
[mm] n^3-n= (n^2+n)(n-1) [/mm] Berechne nur das ich anstatt n, n+1 einsetze, komm ich immernoch auf das selbe Ergebnis. Also die Gleichung geht auf. Nur bringt mir das jetzt was? Habe ich jetzt irgendwas bewiesen? Was ich mir z.B. dachte ist das ich durch die allgemeine gültigkeit von Aussage B und diesen Schritt mit n+1 auch die Gültigkeit von Aussage A bewiesen habe.
Verfolge ich irgendwo schon einen richtigen Ansatz? Oder liege ich mit meinen Überlegungen komplett falsch?
Liebe und hoffnungsvolle Grüße,
Margorion
P.S. Hatte jetzt über ein gutes Jahr kein Mathe mehr und das richtige Darstellen von Problemen war sowieso noch nie meine Stärke. Ich hoffe einfach mal das man es trotzdem lesen und vorallen verstehen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin Margorion und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Es gibt im großen und ganzen zwei Wege deine Aussage zu beweisen.
Der eine wäre eine vollständige Induktion.
Dein "n+1 einsetzen" klingt schon ein wenig so als hättest du in diese Richtung überlegt.
Eine andere Möglichkeit wäre [mm] $n^3 [/mm] - n$ zu faktorisieren.
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und durch 3 teilbar.
Versuch dein [mm] $n^3 [/mm] - n$ als Produkt von möglichst vielen Zahlen zu schreiben, sodass du zeigen kannst, dass immer mindestens eine von diesen Zahlen gerade und mindestens eine dieser Zahlen durch 3 teilbar ist.
Wie genau darfst du selbst herausfinden, aber es gibt ganze Zahlen a,b,c, sodass gilt:
[mm] $n^3 [/mm] - n = (n+a)*(n+b)*(n+c)$
Wenn du es auf diese Form gebracht hast kannst du den Tipp benutzen und dann auch zeigen, dass die Zahl immer durch 6 teilbar ist.
Ein indirekter Beweis könnte vielleicht möglich sein, aber ich sehe gerade nicht wie und du hast ja selbst gemerkt, dass es ein wenig kompliziert werden dürfte.^^
Wenn noch was unklar ist immer her damit. ;)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 15.10.2011 | | Autor: | pemal |
> Es gibt im großen und ganzen zwei Wege deine Aussage zu
> beweisen.
Ein dritter Weg waere, [mm] $n^3-n$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ [/mm] auszurechnen. Gibt nur drei Moeglichkeiten -- und es kommt jedes Mal $0$ raus. :)
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Ich rate einfach mal, dass das zu Beginn von HöMaI noch nicht bekannt ist.^^
Und sonst müsste man der Vollständigkeit halber in [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] rechnen :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Sa 15.10.2011 | | Autor: | pemal |
> Und sonst müsste man der Vollständigkeit halber in
> [mm]\IZ/6\IZ[/mm] rechnen :P
Also erstens steht schon in der Aufgabe quasi drin, dass das Zeug durch $2$ geht.
Und sonst reicht auch, es in [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] und dann noch in [mm] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ [/mm] zu testen.
Geht viel einfacher (Den Tipp hast Du doch selber gegeben!) :-P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Sa 15.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo pemal, auch Dir ein
Ich würde nicht davon ausgehen, dass die Vorlesung "Höhere Mathematik für Elektrotechniker", die vom ersten Semester an Pflicht ist, überhaupt Restklassenringe behandelt, und schon gar nicht zu Beginn des ersten Semesters.
Dein Tipp ist ja völlig ok, aber für den Fragesteller sehr wahrscheinlich nicht hilfreich. Insofern lohnt es kaum, noch um des Kaisers Bart zu streiten.
Trotzdem möchte ich Dich ermutigen, auc weiter anderen zu helfen. Dieses Forum (wie jedes Forum für Hilfestellungen) braucht ein gutes Gleichgewicht von Fragenden und Antwortenden.
Herzliche Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Sa 15.10.2011 | | Autor: | pemal |
> Dein Tipp ist ja völlig ok, aber für den Fragesteller
> sehr wahrscheinlich nicht hilfreich.
Woher soll man das wissen?
Uns hatte schon unsere Mathelehrerin in Klasse 12 im Jahre '88 mit [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] (implizit) und so Sachen wie $1+1=0$ verbluefft, als es aus Anlass des Themas Vektorraum um Beispiele fuer Gruppen ging ... ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 So 16.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> > Dein Tipp ist ja völlig ok, aber für den Fragesteller
> > sehr wahrscheinlich nicht hilfreich.
>
> Woher soll man das wissen?
Gute Frage. So erzsicher bin ich da auch nicht, aber es war bisher mein Eindruck.
> Uns hatte schon unsere Mathelehrerin in Klasse 12 im Jahre
> '88 mit [mm]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/mm] (implizit) und so Sachen wie
> [mm]1+1=0[/mm] verbluefft, als es aus Anlass des Themas Vektorraum
> um Beispiele fuer Gruppen ging ... ;)
Glück gehabt. 
Ich war ein bisschen früher im System, hatte aber auch mindestens eine Referendarin (in Mathe), einen Mathe- und einen Phyikleistungskurslehrer, die die Grenzen nicht einfach beim vorgeschriebenen Curriculum zogen. Erwarten darf man das trotzdem nicht.
Grüße
reverend
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Hallo Margorion, und auch von mir: willkommen!
Außer den beiden von Schadowmaster beschriebenen Wegen gibt es mindestens noch einen. Der hängt mit dem Vorschlag von pemal zusammen. ich vermute nur, dass Dir die Schreibweise [mm] \IZ/3\IZ [/mm] gar nichts sagt.
Du kannst die Behauptung auch sechsmal überprüfen, nämlich für n=6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5. Dann wärst Du fertig. Wenn die alle stimmen, dann stimmt die Aussage für alle n, denn anders als auf diese sechs Weisen kann n ja nicht aufgebaut sein.
Der beste Vorschlag ist allerdings die vollständige Faktorisierung von [mm] n^3-n. [/mm] Wenn Du die hast, ist es sehr einfach zu argumentieren, dass für jedes n die Formel erfüllt ist. Hier reicht es dann, die Darstellungen n=2i,2i-1 und n=3j,3j-1,3j-2 zu betrachten.
Grüße
reverend
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