Indikatorfunktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Für jede Menge C [mm] \in P(\Omega) [/mm] definiert man die Indikatorfunktion von C als
[mm] \I1_{C} [/mm] : [mm] \Omega \rightarrow [/mm] { 0, 1 }, [mm] \omega \mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } \omega \in \mbox{ C} \\ 0, & \mbox{für } \omega \notin \mbox{ C} \end{cases}
[/mm]
Beweisen Sie:
[mm] \I1 \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \liminf_{n \rightarrow \infty} \I1_{A_{n}} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe keine Ahnung wie ich überhaupt anfangen soll.
Kann mir jemand einen Tipp geben? Oder mir irgendwelche Informationen geben, was ich darüber lesen bzw studieren soll bevor ich mit der Aufgabe anfange?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 13.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für jede Menge C [mm]\in P(\Omega)[/mm] definiert man die
> Indikatorfunktion von C als
>
> [mm]\I1_{C}[/mm] : [mm]\Omega \rightarrow[/mm] { 0, 1 }, [mm]\omega \mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } \omega \in \mbox{ C} \\ 0, & \mbox{für } \omega \notin \mbox{ C} \end{cases}[/mm]
>
> Beweisen Sie:
>
> [mm]\I1 \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n}[/mm] = [mm]\liminf_{n \rightarrow \infty} \I1_{A_{n}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe bei dieser Aufgabe keine Ahnung wie ich überhaupt
> anfangen soll.
Nun, du sollst die Gleichheit von den beiden Funktionen $f := [mm] \I1_{\liminf_{n\to\infty} A_n}$ [/mm] und $g := [mm] \liminf_{n\to\infty} \I1_{A_n}$ [/mm] zeigen. Du musst also fuer jedes [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] zeigen, dass [mm] $f(\omega) [/mm] = [mm] g(\omega)$ [/mm] ist.
> Kann mir jemand einen Tipp geben? Oder mir irgendwelche
> Informationen geben, was ich darüber lesen bzw studieren
> soll bevor ich mit der Aufgabe anfange?
Schau dir mal die Definition von [mm] $\liminf_{n\to\infty} a_n$ [/mm] fuer eine Folge [mm] $a_n$ [/mm] von reellen Zahlen an (beachte, dass die Zahlen hier immer nur 0 oder 1 sind), sowie die Definition von [mm] $\liminf_{n\to\infty} A_n$ [/mm] fuer Teilmengen [mm] $A_n \subseteq \Omega$. [/mm] Diese beiden Definitionen brauchst du.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Moin!
>
> > Für jede Menge C [mm]\in P(\Omega)[/mm] definiert man die
> > Indikatorfunktion von C als
> >
> > [mm]\I1_{C}[/mm] : [mm]\Omega \rightarrow[/mm] { 0, 1 }, [mm]\omega \mapsto \begin{cases} 1, & \mbox{für } \omega \in \mbox{ C} \\ 0, & \mbox{für } \omega \notin \mbox{ C} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Beweisen Sie:
> >
> > [mm]\I1 \liminf_{n \rightarrow \infty} A_{n}[/mm] = [mm]\liminf_{n \rightarrow \infty} \I1_{A_{n}}[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ich habe bei dieser Aufgabe keine Ahnung wie ich überhaupt
> > anfangen soll.
>
> Nun, du sollst die Gleichheit von den beiden Funktionen [mm]f := \I1_{\liminf_{n\to\infty} A_n}[/mm]
> und [mm]g := \liminf_{n\to\infty} \I1_{A_n}[/mm] zeigen. Du musst
> also fuer jedes [mm]\omega \in \Omega[/mm] zeigen, dass [mm]f(\omega) = g(\omega)[/mm]
> ist.
>
> > Kann mir jemand einen Tipp geben? Oder mir irgendwelche
> > Informationen geben, was ich darüber lesen bzw studieren
> > soll bevor ich mit der Aufgabe anfange?
>
> Schau dir mal die Definition von [mm]\liminf_{n\to\infty} a_n[/mm]
> fuer eine Folge [mm]a_n[/mm] von reellen Zahlen an (beachte, dass
> die Zahlen hier immer nur 0 oder 1 sind), sowie die
> Definition von [mm]\liminf_{n\to\infty} A_n[/mm] fuer Teilmengen [mm]A_n \subseteq \Omega[/mm].
> Diese beiden Definitionen brauchst du.
>
> LG Felix
>
Also nach Wiki ist Formal der Limes inferior einer Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] reeller Zahlen definiert als:
[mm] \sup_{n \in \IN} \inf_{k \ge n} a_{n} [/mm] = [mm] \sup [/mm] { [mm] \inf [/mm] { [mm] x_{k} [/mm] : k [mm] \ge [/mm] n } : n [mm] \in \IN [/mm] } bzw. [mm] \limes_{n \rightarrow \infty} [/mm] ( [mm] \inf_{k \ge n} x_{k} [/mm] ).
Und bei Folgen von Mengen ist es so definiert:
[mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \inf A_{n} [/mm] = [mm] \bigcup_{n = 1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bigcap_{m = n}^{\infty} A_{m} [/mm] )
bzw.
[mm] \limes_{n \rightarrow \infty} \sup A_{n} [/mm] = [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{m = n}^{\infty} A_{m} [/mm] ).
und das [mm] f(\omega) [/mm] = [mm] g(\omega) [/mm] ist verstehe ich auch, weil ja die indikatorfunktion auf 1 geht, falls [mm] \omega \in [/mm] C und auf 0 geht, falls [mm] \omega \notin [/mm] C somit ist für gleiches [mm] \omega, f(\omega) [/mm] immer gleich [mm] g(\omega).
[/mm]
Aber ich habe irgendwie immernoch keine ahnung wie ich das genau beweisen soll.
Könntest du mir einen Tipp geben?
Danke Danke Danke.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ali,
> Also nach Wiki ist Formal der Limes inferior einer Folge
> [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] reeller Zahlen definiert als:
>
> [mm]\sup_{n \in \IN} \inf_{k \ge n} a_{n}[/mm] = [mm]\sup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm]\inf[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\{$ [mm]x_{k}[/mm]
> : k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ : n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ bzw. [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}[/mm]
> ( [mm]\inf_{k \ge n} x_{k}[/mm] ).
Abgesehen davon, dass du [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $x_k$ [/mm] statt [mm] $a_k$ [/mm] schreibst: Ja.
> und das [mm]f(\omega)[/mm] = [mm]g(\omega)[/mm] ist verstehe ich auch, weil
> ja die indikatorfunktion auf 1 geht, falls [mm]\omega \in[/mm] C und
> auf 0 geht, falls [mm]\omega \notin[/mm] C somit ist für gleiches
> [mm]\omega, f(\omega)[/mm] immer gleich [mm]g(\omega).[/mm]
Das ist aber eine komische "Begründung". Du hast nirgendwo die Definition des Limes inferior der Folge [mm] $(1_{A_n}(\omega))_{n\in\IN}$ [/mm] benutzt und behauptest trotzdem, dir sei eine Aussage über [mm] $g(\omega)=\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}(\omega)$ [/mm] klar?
> Aber ich habe irgendwie immernoch keine ahnung wie ich das
> genau beweisen soll.
>
> Könntest du mir einen Tipp geben?
Zunächst mal solltest du die Definition von g einmal ausschreiben:
[mm] $g(\omega)=\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}1_{A_k}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}$.
[/mm]
für alle [mm] $\omega\in\Omega$.
[/mm]
1. Da bietet es sich an, zunächst für festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Menge
[mm] $M_n:=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}$
[/mm]
zu untersuchen. Welche Elemente enthält sie in welchen Fällen?
(Wie Felix schon schrieb: Nur die Elemente 0 und 1 kommen überhaupt in Frage.)
2. Im nächsten Schritt wäre dann [mm] $\inf M_n$ [/mm] für festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] zu untersuchen.
3. Dann könntest du die Elemente der Menge
[mm] $M:=\{\inf M_n\;|\;n\in\IN\}$
[/mm]
bestimmen.
4. Zu guter Letzt wäre [mm] $g(\omega)=\sup [/mm] M$ zu bestimmen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo Ali,
>
>
> > Also nach Wiki ist Formal der Limes inferior einer Folge
> > [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] reeller Zahlen definiert als:
> >
> > [mm]\sup_{n \in \IN} \inf_{k \ge n} a_{n}[/mm] = [mm]\sup[/mm] [mm]\{[/mm] [mm]\inf[/mm] [mm]\{[/mm]
> [mm]x_{k}[/mm]
> > : k [mm]\ge[/mm] n [mm]\}[/mm] : n [mm]\in \IN[/mm] [mm]\}[/mm] bzw. [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}[/mm]
> > ( [mm]\inf_{k \ge n} x_{k}[/mm] ).
> Abgesehen davon, dass du [mm]a_n[/mm] und [mm]x_k[/mm] statt [mm]a_k[/mm] schreibst:
> Ja.
>
>
> > und das [mm]f(\omega)[/mm] = [mm]g(\omega)[/mm] ist verstehe ich auch, weil
> > ja die indikatorfunktion auf 1 geht, falls [mm]\omega \in[/mm] C und
> > auf 0 geht, falls [mm]\omega \notin[/mm] C somit ist für gleiches
> > [mm]\omega, f(\omega)[/mm] immer gleich [mm]g(\omega).[/mm]
> Das ist aber eine komische "Begründung". Du hast
> nirgendwo die Definition des Limes inferior der Folge
> [mm](1_{A_n}(\omega))_{n\in\IN}[/mm] benutzt und behauptest
> trotzdem, dir sei eine Aussage über
> [mm]g(\omega)=\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}(\omega)[/mm] klar?
>
>
> > Aber ich habe irgendwie immernoch keine ahnung wie ich das
> > genau beweisen soll.
> >
> > Könntest du mir einen Tipp geben?
> Zunächst mal solltest du die Definition von g einmal
> ausschreiben:
>
> [mm]g(\omega)=\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}1_{A_k}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm].
>
> für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm].
>
> 1. Da bietet es sich an, zunächst für festes [mm]n\in\IN[/mm] die
> Menge
>
> [mm]M_n:=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm]
>
> zu untersuchen. Welche Elemente enthält sie in welchen
> Fällen?
Es gibt ja zwei Fälle:
1. Fall [mm] \omega \in [/mm] C
Dann gilt: [mm] M_{n} \in [/mm] { 1 }
2. Fall [mm] \omega \notin [/mm] C
Dann gilt: [mm] M_{n} \in [/mm] { 0 }
Oder????
>
> (Wie Felix schon schrieb: Nur die Elemente 0 und 1 kommen
> überhaupt in Frage.)
>
> 2. Im nächsten Schritt wäre dann [mm]\inf M_n[/mm] für festes
> [mm]n\in\IN[/mm] zu untersuchen.
[mm] \inf M_{n} [/mm] = 0
ist ja die größte untere grenze.
Oder? Ansonsten versteh ich es leider nicht :-(
>
> 3. Dann könntest du die Elemente der Menge
>
> [mm]M:=\{\inf M_n\;|\;n\in\IN\}[/mm]
>
> bestimmen.
>
Hat ja nur ein Element. Oder? Also M [mm] \in [/mm] { 0 }.
Oder??? Keine Ahnung ob ich da auf dem richtigen Weg bin...
> 4. Zu guter Letzt wäre [mm]g(\omega)=\sup M[/mm] zu bestimmen.
Das ist doch { 1 } oder???
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Bitte sei mir nicht böse falls ich jetzt alles falsch haben sollte. Ich kapiere das noch nicht so ganz....
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Zunächst mal solltest du die Definition von g einmal
> > ausschreiben:
> >
> >
> [mm]g(\omega)=\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}1_{A_k}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm].
>
> >
> > für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm].
> >
> > 1. Da bietet es sich an, zunächst für festes [mm]n\in\IN[/mm] die
> > Menge
> >
> > [mm]M_n:=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm]
> >
> > zu untersuchen. Welche Elemente enthält sie in welchen
> > Fällen?
> Es gibt ja zwei Fälle:
>
> 1. Fall [mm]\omega \in[/mm] C
Welche Menge bezeichnest du mit $C$?
> Dann gilt: [mm]M_{n} \in[/mm] { 1 }
Wie kommst du darauf? [mm] $M_n\in\{1\}$ [/mm] würde [mm] $M_n=1$ [/mm] bedeuten. [mm] $M_n$ [/mm] ist jedoch eine Menge und somit sicherlich nicht die Zahl 1.
> 2. Fall [mm]\omega \notin[/mm] C
>
> Dann gilt: [mm]M_{n} \in[/mm] { 0 }
>
> Oder????
Nein.
Wir haben eine feste Zahl [mm] $n\in\IN$ [/mm] und ein festes Element [mm] $\omega\in\Omega$. [/mm] Jetzt betrachten wir die Menge
[mm] $M_n:=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}$.
[/mm]
Sie enthält für jedes [mm] $k\ge [/mm] n$ die Zahl [mm] $1_{A_k}(\omega)$ [/mm] als Element.
Betrachten wir z.B. zuerst den Spezialfall, dass [mm] $\omega\in A_k$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$ gilt.
Wie lautet die Zahl [mm] $1_{A_k}(\omega)$ [/mm] dann für [mm] $k\ge [/mm] n$?
Welche Zahl(en) enthält also die Menge [mm] $M_n$ [/mm] als Element(e)?
Betrachte dann den Spezialfall, dass [mm] $\omega\notin A_k$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$ gilt und beantworte wieder die entsprechenden Fragen.
Schlussendlich behandeln wir den Fall, dass keiner der beiden schon behandelten Spezialfälle vorliegt, also sowohl ein [mm] $k\ge [/mm] n$ mit [mm] $\omega\notin A_k$, [/mm] als auch ein [mm] $l\ge [/mm] n$ mit [mm] $\omega\in A_l$ [/mm] existieren.
Es macht keinen Sinn einen weiteren der Schritte 1. bis 4. zu beginnen, ehe du die vorherigen korrekt gelöst hast.
> Bitte sei mir nicht böse falls ich jetzt alles falsch
> haben sollte. Ich kapiere das noch nicht so ganz....
Um so wichtiger ist, dass du dort konkret nachfragst, wo etwas unklar ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > > Zunächst mal solltest du die Definition von g einmal
> > > ausschreiben:
> > >
> > >
> >
> [mm]g(\omega)=\liminf_{n\to\infty}1_{A_n}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf_{k\ge n}1_{A_k}(\omega)=\sup_{n\in\IN}\inf\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm].
>
> >
> > >
> > > für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm].
> > >
> > > 1. Da bietet es sich an, zunächst für festes [mm]n\in\IN[/mm] die
> > > Menge
> > >
> > > [mm]M_n:=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm]
> > >
> > > zu untersuchen. Welche Elemente enthält sie in welchen
> > > Fällen?
> > Es gibt ja zwei Fälle:
> >
> > 1. Fall [mm]\omega \in[/mm] C
> Welche Menge bezeichnest du mit [mm]C[/mm]?
>
> > Dann gilt: [mm]M_{n} \in[/mm] { 1 }
> Wie kommst du darauf? [mm]M_n\in\{1\}[/mm] würde [mm]M_n=1[/mm] bedeuten.
> [mm]M_n[/mm] ist jedoch eine Menge und somit sicherlich nicht die
> Zahl 1.
>
> > 2. Fall [mm]\omega \notin[/mm] C
> >
> > Dann gilt: [mm]M_{n} \in[/mm] { 0 }
> >
> > Oder????
> Nein.
>
>
> Wir haben eine feste Zahl [mm]n\in\IN[/mm] und ein festes Element
> [mm]\omega\in\Omega[/mm]. Jetzt betrachten wir die Menge
>
> [mm]M_n:=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm].
>
> Sie enthält für jedes [mm]k\ge n[/mm] die Zahl [mm]1_{A_k}(\omega)[/mm] als
> Element.
>
> Betrachten wir z.B. zuerst den Spezialfall, dass [mm]\omega\in A_k[/mm]
> für alle [mm]k\ge n[/mm] gilt.
> Wie lautet die Zahl [mm]1_{A_k}(\omega)[/mm] dann für [mm]k\ge n[/mm]?
Die Zahl lautet 1. Oder?
>
> Welche Zahl(en) enthält also die Menge [mm]M_n[/mm] als
> Element(e)?
0 und 1. oder?
>
> Betrachte dann den Spezialfall, dass [mm]\omega\notin A_k[/mm] für
> alle [mm]k\ge n[/mm] gilt und beantworte wieder die entsprechenden
> Fragen.
Dann lautet die Zahl für [mm] 1_{A_{k}}(\omega) [/mm] für k [mm] \ge [/mm] n 0. oder???
Und die Menge [mm] M_{n} [/mm] enthält wieder als Elemente die 0 und die 1. oder???
>
> Schlussendlich behandeln wir den Fall, dass keiner der
> beiden schon behandelten Spezialfälle vorliegt, also
> sowohl ein [mm]k\ge n[/mm] mit [mm]\omega\notin A_k[/mm], als auch ein [mm]l\ge n[/mm]
> mit [mm]\omega\in A_l[/mm] existieren.
>
>
> Es macht keinen Sinn einen weiteren der Schritte 1. bis 4.
> zu beginnen, ehe du die vorherigen korrekt gelöst hast.
>
>
> > Bitte sei mir nicht böse falls ich jetzt alles falsch
> > haben sollte. Ich kapiere das noch nicht so ganz....
> Um so wichtiger ist, dass du dort konkret nachfragst, wo
> etwas unklar ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Wir haben eine feste Zahl [mm]n\in\IN[/mm] und ein festes Element
> > [mm]\omega\in\Omega[/mm]. Jetzt betrachten wir die Menge
> >
> > [mm]M_n:=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}[/mm].
> >
> > Sie enthält für jedes [mm]k\ge n[/mm] die Zahl [mm]1_{A_k}(\omega)[/mm] als
> > Element.
> >
> > Betrachten wir z.B. zuerst den Spezialfall, dass [mm]\omega\in A_k[/mm]
> > für alle [mm]k\ge n[/mm] gilt.
> > Wie lautet die Zahl [mm]1_{A_k}(\omega)[/mm] dann für [mm]k\ge n[/mm]?
>
> Die Zahl lautet 1. Oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau. Für jedes [mm] $k\ge [/mm] n$ gilt in diesem Spezialfall [mm] $1_{A_k}(\omega)=1$.
[/mm]
> > Welche Zahl(en) enthält also die Menge [mm]M_n[/mm] als
> > Element(e)?
> 0 und 1. oder?
Woher nimmst du die Zahl 0 als Element? Wäre [mm] $0\in M_n$, [/mm] müsste es eine Zahl [mm] $k\ge [/mm] n$ mit [mm] $1_{A_k}(\omega)=0$ [/mm] geben. Du hast aber gerade korrekt ermittelt, dass [mm] $1_{A_k}(\omega)=1$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$ gilt.
Zusammengefasst:
[mm] $M_n=\{1_{A_k}(\omega)\;|\;k\ge n\}=\{1\;|\;k\ge n\}=\{1\}$.
[/mm]
> > Betrachte dann den Spezialfall, dass [mm]\omega\notin A_k[/mm] für
> > alle [mm]k\ge n[/mm] gilt und beantworte wieder die entsprechenden
> > Fragen.
> Dann lautet die Zahl für [mm]1_{A_{k}}(\omega)[/mm] für k [mm]\ge[/mm] n
> 0. oder???
> Und die Menge [mm]M_{n}[/mm] enthält wieder als Elemente die 0 und
> die 1. oder???
Hierzu ist Analoges zu sagen: In diesem Spezialfall gilt [mm] $1_{A_k}(\omega)=0$ [/mm] für jedes [mm] $k\ge [/mm] n$ stimmt. Somit ist [mm] $0\in M_n$, [/mm] aber [mm] $1\notin M_n$. [/mm] Also
[mm] $M_n=\{0\}$.
[/mm]
> > Schlussendlich behandeln wir den Fall, dass keiner der
> > beiden schon behandelten Spezialfälle vorliegt, also
> > sowohl ein [mm]k\ge n[/mm] mit [mm]\omega\notin A_k[/mm], als auch ein [mm]l\ge n[/mm]
> > mit [mm]\omega\in A_l[/mm] existieren.
Zeige in diesem Fall [mm] $M_n=\{0,1\}$, [/mm] indem du beide Teilmengenbeziehungen nachprüfst.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
ok.
Was hälst du davon:
Für [mm] \omega \in A_{k} \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] n gilt:
[mm] M_{n} [/mm] = { [mm] 1_{A_{k}} (\omega) [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } = { 1 | k [mm] \ge [/mm] n } = { 1 }
Für [mm] \omega \notin A_{k} \forall [/mm] k [mm] \ge [/mm] n gilt:
[mm] M_{n} [/mm] = { [mm] 1_{A_{k}} (\omega) [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } = { 0 | k [mm] \ge [/mm] n } = { 0 }
[mm] \Rightarrow M_{n} [/mm] = { [mm] 1_{A_{k}} (\omega) [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } = { (0; 1) | k [mm] \ge [/mm] n } = { 0; 1 }
Irgendwas richtiges dabei???
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 So 13.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Für [mm]\omega \in A_{k} \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] n gilt:
(Ich würde "Im Falle" statt "Für" schreiben.)
> [mm]M_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ [mm]1_{A_{k}} (\omega)[/mm] | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ = $\{$ 1 | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$
> = $\{$ 1 $\}$
>
> Für [mm]\omega \notin A_{k} \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] n gilt:
>
> [mm]M_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ [mm]1_{A_{k}} (\omega)[/mm] | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ = $\{$ 0 | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$
> = $\{$ 0 $\}$
Genau.
> [mm]\Rightarrow M_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ [mm]1_{A_{k}} (\omega)[/mm] | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ = $\{$
> (0; 1) | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ = $\{$ 0; 1 $\}$
Das ist völliger Quatsch.
$1_{A_k}(\omega)$ ist in keinem Fall und für kein $k\ge n$ das Paar $(0;1)$.
Und es kann doch nicht gleichzeitig $M_n=\{0\}$ und $M_n=\{0;1\}$ gelten.
$\omega$ ist ein festes Element von $\Omega$ und $n\in\IN$ eine feste natürliche Zahl. Es liegt nun genau einer der drei betrachteten Fälle vor:
a) $\omega\in A_k$ für alle $k\ge n$. Dann gilt $M_n=\{1\}$.
b) $\omega\notin A_k$ für alle $k\ge n$. Dann gilt $M_n=\{0\}$.
c) $\omega\notin A_k$ für ein $k\ge n$ und $\omega\in A_l$ für ein $l\ge n$. Dann gilt (wie noch nachzuprüfen ist, z.B. durch Verifizieren beider Teilmengenbeziehungen) $M_n=\{0;1\}$.
Wie lautet also $\inf M_n$ in den drei Fällen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 13.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Für [mm]\omega \in A_{k} \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] n gilt:
> (Ich würde "Im Falle" statt "Für" schreiben.)
>
> > [mm]M_{n}[/mm] = [mm]\{[/mm] [mm]1_{A_{k}} (\omega)[/mm] | k [mm]\ge[/mm] n [mm]\}[/mm] = [mm]\{[/mm] 1 | k [mm]\ge[/mm] n
> [mm]\}[/mm]
> > = [mm]\{[/mm] 1 [mm]\}[/mm]
> >
> > Für [mm]\omega \notin A_{k} \forall[/mm] k [mm]\ge[/mm] n gilt:
> >
> > [mm]M_{n}[/mm] = [mm]\{[/mm] [mm]1_{A_{k}} (\omega)[/mm] | k [mm]\ge[/mm] n [mm]\}[/mm] = [mm]\{[/mm] 0 | k [mm]\ge[/mm] n
> [mm]\}[/mm]
> > = [mm]\{[/mm] 0 [mm]\}[/mm]
> Genau.
>
>
> > [mm]\Rightarrow M_{n}[/mm] = [mm]\{[/mm] [mm]1_{A_{k}} (\omega)[/mm] | k [mm]\ge[/mm] n [mm]\}[/mm] = [mm]\{[/mm]
> > (0; 1) | k [mm]\ge[/mm] n [mm]\}[/mm] = [mm]\{[/mm] 0; 1 [mm]\}[/mm]
> Das ist völliger Quatsch.
> [mm]1_{A_k}(\omega)[/mm] ist in keinem Fall und für kein [mm]k\ge n[/mm]
> das Paar [mm](0;1)[/mm].
> Und es kann doch nicht gleichzeitig [mm]M_n=\{0\}[/mm] und
> [mm]M_n=\{0;1\}[/mm] gelten.
>
> [mm]\omega[/mm] ist ein festes Element von [mm]\Omega[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm] eine
> feste natürliche Zahl. Es liegt nun genau einer der drei
> betrachteten Fälle vor:
> a) [mm]\omega\in A_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]. Dann gilt [mm]M_n=\{1\}[/mm].
> b) [mm]\omega\notin A_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]. Dann gilt
> [mm]M_n=\{0\}[/mm].
> c) [mm]\omega\notin A_k[/mm] für ein [mm]k\ge n[/mm] und [mm]\omega\in A_l[/mm] für
> ein [mm]l\ge n[/mm]. Dann gilt (wie noch nachzuprüfen ist, z.B.
> durch Verifizieren beider Teilmengenbeziehungen)
> [mm]M_n=\{0;1\}[/mm].
>
> Wie lautet also [mm]\inf M_n[/mm] in den drei Fällen?
was genau ist denn hier mit [mm] \inf M_{n} [/mm] genau gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:03 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]\omega[/mm] ist ein festes Element von [mm]\Omega[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm] eine
> > feste natürliche Zahl. Es liegt nun genau einer der drei
> > betrachteten Fälle vor:
> > a) [mm]\omega\in A_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]. Dann gilt
> [mm]M_n=\{1\}[/mm].
> > b) [mm]\omega\notin A_k[/mm] für alle [mm]k\ge n[/mm]. Dann gilt
> > [mm]M_n=\{0\}[/mm].
> > c) [mm]\omega\notin A_k[/mm] für ein [mm]k\ge n[/mm] und [mm]\omega\in A_l[/mm]
> für
> > ein [mm]l\ge n[/mm]. Dann gilt (wie noch nachzuprüfen ist, z.B.
> > durch Verifizieren beider Teilmengenbeziehungen)
> > [mm]M_n=\{0;1\}[/mm].
> >
> > Wie lautet also [mm]\inf M_n[/mm] in den drei Fällen?
> was genau ist denn hier mit [mm]\inf M_{n}[/mm] genau gemeint?
Gut, dass du nachfragst!
Gemeint ist das gewöhnliche Infimum der Menge [mm] $M_n$, [/mm] wie es in Analysis 1 definiert wurde. Siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier (klick).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mo 14.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei $ f := [mm] \I1_{\liminf_{n\to\infty} A_n} [/mm] $
Sei [mm] \omega \in \Omega. [/mm] Wir setzen [mm] a_n:=\I1_{A_n}(\omega)
[/mm]
Fall 1: [mm] \omega \in \liminf_{n\to\infty} A_n, [/mm] also [mm] f(\omega)=1. [/mm] In einer deiner Diskussionen vor einigen Tagen hatten wir, dass das gerade bedeutet:
es ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] \omega \in A_n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m.
Damit ist [mm] a_n=1 [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] m.
Überlege Dir nun, dass [mm] (a_n) [/mm] konvergiert und dass gillt
[mm] \liminf_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_n=1.
[/mm]
Fall 2. [mm] \omega \notin \liminf_{n\to\infty} A_n, [/mm] also [mm] f(\omega)=0.
[/mm]
dann ist [mm] \omega \notin A_n [/mm] für unendlich viele n, also [mm] a_n=0 [/mm] für unendlich viele n.
mach Dir klar, das nun gilt:
[mm] \liminf_{n\to\infty}a_n=0
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Mo 14.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
@Fred: Danke für deinen Alternativ-Vorschlag.
Du startest sozusagen von [mm] $f(\omega)$ [/mm] aus, während ich vorschlug, von [mm] $g(\omega)$ [/mm] auszugehen.
Dein Weg hat mehrere Vorteile: Die Fallunterscheidung ist naheliegender als die im von mir vorgeschlagenen Weg. Zunächst sind nur zwei Fälle zu betrachten. Er nutzt zur Abkürzung der Argumentation aus, dass schon bekannt sein könnte/sollte, dass im Falle einer konvergenten Folge deren Limes inferior mit dem Limes übereinstimmt. Die Einführung der Abkürzung [mm] $a_n$ [/mm] für [mm] $1_{A_n}(\omega)$ [/mm] erhöht die Übersichtlichkeit.
Allerdings sind zur Bestimmung des Limes inferior von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] im zweiten Fall auch wieder die Bestimmung der Mengen [mm] $M_n=\{a_k\;|\;k\ge n\}$ [/mm] naheliegend, was wiederum auf eine Fallunterscheidung zwischen [mm] $a_k=0$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$ auf der einen Seite und [mm] $a_k\not=0$ [/mm] für ein [mm] $k\ge [/mm] n$ hinausläuft.
(Natürlich sehen wir mit unserer Erfahrung sofort, dass [mm] $\liminf_{n\to\infty}a_n=0$ [/mm] im Falle [mm] $a_n=0$ [/mm] für unendlich viele $n$ gilt, ohne dass wir die Mengen [mm] $M_n$ [/mm] explizit bestimmen müssen. Wir sehen nämlich sofort [mm] $\inf M_n=0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] ohne eine erneute Fallunterscheidung zu benötigen. Natürlich sind wir in der Lage, das auch in einen präzisen Beweis ohne erneute Fallunterscheidung zu formulieren. Für jemanden, der so etwas nicht sofort sieht, erscheint mir jedoch eine explizite Bestimmung von [mm] $M_n$ [/mm] am naheliegendsten. So viel zur Erklärung, warum ich einen scheinbar so umständlichen Weg vorschlage.)
@Ali: Suche dir selbst aus, ob du aufgrund der Vorteile von Freds Weg damit arbeiten möchtest oder aufgrund der bereits erbrachten Mühen für meinen Weg damit weitermachen möchtest.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:23 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke an euch zwei. Habe mir die Aufgabe gestern von einen Komillitonen nochmal kurz erklären lassen und werde sie dann am Mittwoch mit meinem Prof durchsprechen und evtl hier noch offene Fragen oder einen neuen Lösungsvorschlag posten.
Danke :-D
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