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Indikatorfunktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:23 Mi 16.06.2004
Autor: Britta

Hallo Leute!

Ich bräuchte dringend einige Tips zur folgenden Übungsaufgabe:

Es sei f = 1Q : R -> R die Indikatorfunktion der Menge der rationalen Zahlen. Zeige:

a) f ist in keinem Punkt x Element R stetig

b) Die Restriktion von f auf Q ( bzw. auf R \ Q ) ist stetig

Über Antworten würde ich mich echt freuen.

Lieben Gruß Britta
        
Bezug
Indikatorfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mi 16.06.2004
Autor: Marcel

Liebe Britta,

> Hallo Leute!
>  
> Ich bräuchte dringend einige Tips zur folgenden
> Übungsaufgabe:
>  
> Es sei f = 1Q : R -> R die Indikatorfunktion der Menge der
> rationalen Zahlen.

Das heißt: $f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] ist definiert durch:
$f(x):=1$, falls $x [mm] \in \IQ$ [/mm] und
$f(x):=0$, falls $x [mm] \in \IR-\IQ$. [/mm]
Zusatzfragen:
1.) Ist $f$ surjektiv? ;-)
2.) Ist $f$ bijektiv? ;-)

> Zeige:
>  
> a) f ist in keinem Punkt x Element R stetig

Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, so ist entweder $x [mm] \in \IQ$ [/mm] oder aber [m]x \in \IR-\IQ[/m].
Überlege dir im Falle $x [mm] \in \IQ$: [/mm]
1.) Was ist $f(x)$?
2.) Für eine Folge [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$, [/mm] die gegen $x$ konvergiert und wo alle Folgenglieder [m]y_n \in \IR-\IQ[/m] sind:
Wie sieht es mit der Gleichung:
[m]\limes_{n \to \infty}{f(y_n)}=f(\limes_{n \to \infty}{y_n})[/m] aus?
(Was das mit der Stetigkeit zu tun hat:
[]http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/pdfANAI.pdf
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Satz 10.7, S. 94 (interne) Zählung oben rechts).)
(Wieso brauchen wir hier [mm] $y_n \not=x$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] nicht noch extra zu fordern, wenn für alle $n$ gilt: [m]y_n \in \IR-\IQ[/m]?
Wieso existiert eigentlich eine solche Folge [mm] $(y_n)_{n \in \IN}$ [/mm] wie oben gefordert?)

Danach: Analoge Überlegungen im Falle $x [mm] \in \IR-\IQ$... [/mm]
  
> b) Die Restriktion von f auf Q ( bzw. auf R \ Q ) ist
> stetig

Wenn du die Lösung zu Aufgabe a) mit diesen Tipps gefunden und verstanden hast, solltest du auch hier die Lösung sofort erkennen. ;-)

> Über Antworten würde ich mich echt freuen.

Bitteschön!
Ich muss jetzt aber leider weg...
[winken]

PS: Hoffentlich habe ich in der Eile keine Fehler in meine Tipps eingebaut...

Viele Grüße
Marcel
Bezug
                
Bezug
Indikatorfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Do 17.06.2004
Autor: Britta

Danke für die schnelle Hilfe, ich hoffe die Tipps helfen mir weiter.

Gruß Britta
Bezug
                        
Bezug
Indikatorfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Do 17.06.2004
Autor: Marcel

Liebe Britta,

> Danke für die schnelle Hilfe, ich hoffe die Tipps helfen
> mir weiter.

Bitteschön!

Solltest du trotz der Tipps denken:
[bahnhof]
dann frage einfach weiter.
Wenn du dir unsicher bist, ob deine Lösung stimmt, so schreibe sie doch bitte einfach hier nieder: [user]. ;-)
Ich (oder jemand anderes) spiel(t) dann mal [detective] und ggf. werden wir etwas korrigieren oder ergänzen. Falls nichts (bzw. nichts Wesentliches) zu bemängeln ist, bekommst du natürlich [applaus].
[klatsch]

Ich würde dir übrigens generell empfehlen, deine Ideen und Ansätze mitzuposten und auch Lösungsvorschläge zu machen. Dann sehen wir nämlich, was dir alles klar ist und wo wir vielleicht nocheinmal ein paar Dinge klären sollten, so dass du hinterher sagen kannst:
[lichtaufgegangen]

Es wäre also schön, wenn du versuchst, nun den Beweis mit meinen Tipps hier niederzuschreiben. Dann können wir den Beweis nämlich auch gemeinsam diskutieren. [versammlung]

PS: Entschuldige die vielen Smileys. Viele sind neu, und ich mußte jetzt einfach mal ein paar testen. ;-)

Viele Grüße
Marcel
Bezug
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