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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Mo 19.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | | Geben Sie die Indikator-Funktion des Einheitkreises und der Menge [mm] \Sigma [/mm] = [0,1]x[0,1] an. |
Hallo alle zusammen,
ich weiß nicht wie ich die Aufgabe zu lösen habe.
Indikatorfunktion:
[mm] 1_{x\in A}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in A \mbox{ } \\ 0, & \mbox sonst \end{cases}..
[/mm]
Einheitskreis : [mm] x^2+y^2=1. [/mm]
Ich dachte wenn die Gleichung nach x umforme: [mm] x=\pm\wurzel{1-y^2}, [/mm] weiter weiß ich leider nicht, wie ich es mit der Indikatorfunktion machen sollte.
Bin sehr dankbar für jede Hilfe.
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> Geben Sie die Indikator-Funktion des Einheitkreises und der
> Menge [mm]\Sigma[/mm] = [0,1]x[0,1] an.
> Hallo alle zusammen,
> ich weiß nicht wie ich die Aufgabe zu lösen habe.
> Indikatorfunktion:
> [mm]1_{x\in A}(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in A \mbox{ } \\ 0, & \mbox sonst \end{cases}..[/mm]
>
> Einheitskreis : [mm]x^2+y^2=1.[/mm]
Hallo,
der Einheitskreis K ist eine Teilmenge des [mm] \IR^2.
[/mm]
Für jeden Punkt des Eineitskreises soll die Indikatorfunktion den Funktionswert 1 liefern, und für jeden Punkt außerhalb des Eineitskreises den Funktionswert 0.
Die Indikatormenge ist hier also auf der Menge [mm] \IR^2 [/mm] definiert.
Ich denke, daß Dir dies nicht klar war.
Also
[mm] 1_{(x,y)\in K}(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x^2+y^2=1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
LG Angela
> Ich dachte wenn die Gleichung nach x umforme:
> [mm]x=\pm\wurzel{1-y^2},[/mm] weiter weiß ich leider nicht, wie ich
> es mit der Indikatorfunktion machen sollte.
> Bin sehr dankbar für jede Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mo 19.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
Super, danke schön, jetzt verstehe ich.
wie ist dann mit der Omega (statt Summenzeichen),
das kartesische Produkt hat die Menge: {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)},
bei (0,0) und(1,1) ist 0 und 1, aber bei (0,1) und (1,0) ?
Viele Grüße Gina
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> $ [mm] \Sigma [/mm] $ = [0,1]x[0,1]
Wir müssen überlegen, welche Punkte in dieser Menge sind.
Dazu mußt Du wissen, wie das Intervall [0,1] definiert ist:
[0,1] enthält alle Zahlen zwischen 0 und 1 inkl. 0 und 1.
In [mm] \Sigma [/mm] sind also die Zahlenpaare (a,b) für die sowohl a als auch b der Menge [0,1] entstammen.
Das sind mehr Paare als die, die Du aufgeschrieben hast...
Zeichne Dir die Menge [mm] \sigma [/mm] mal auf. Du hast nur die Eckpunkte notiert.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 19.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
Ist dann nicht der Einheitskreis?
Und stimmt, sind nur Randpunkte.
Wie kann ich dann alle Zwischenpunkte aufschreiben,
muss ich bestimmt das Intervall von 0 bis 1 benutzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mo 19.06.2017 | | Autor: | fred97 |
> Ist dann nicht der Einheitskreis?
> Und stimmt, sind nur Randpunkte.
> Wie kann ich dann alle Zwischenpunkte aufschreiben,
> muss ich bestimmt das Intervall von 0 bis 1 benutzen?
Es sei $ [mm] \Sigma [/mm] = [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]$.
Dann: $ [mm] \Sigma=\{(x,y) \in \IR^2: 0 \le x \le 1 \wedge 0 \le y \le 1\}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 19.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
Dann wäre die Indikatorfunktion dieser Menge:
[mm] 1_{x,y}\in \IR^2 (x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\le 1 \text{oder} y\le1 \\ 0, & \mbox {für} x\ge 0,\mbox y\ge0 \end{cases}
[/mm]
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> Dann wäre die Indikatorfunktion dieser Menge:
> [mm]1_{x,y}\in \IR^2 (x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\le 1 \text{oder} y\le1 \\ 0, & \mbox {für} x\ge 0,\mbox y\ge 0 \end{cases}[/mm]
>
>
>
Wenn es so wäre, wie Du sagst, läge der Punkt (-17| 0.7) in der Menge,
und ebenso die Punkte (5|19) und (0.1|1.5).
Ist das der Fall?
Bevor Du mit der Indikatorfunktion rumwurschtelst, solltest Du Dir mal klar machen, wie die Menge aussieht. Zeichne sie doch mal in ein Koordinatensystem.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mo 19.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
Ja jetzt habe ich gezeichnet und hoffe richtig,
das wäre dann 1/4 von dem Einheitskreis, also der Viereck im II Quadranten, richtig?
Und wie komme ich auf die Indikatorfunktion?
Soll dann statt [mm] x\le [/mm] 1 stehen: [mm] 0\le x\le [/mm] 1?
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Hallo Gina,
> Ja jetzt habe ich gezeichnet und hoffe richtig,
> das wäre dann 1/4 von dem Einheitskreis, also der Viereck
> im II Quadranten, richtig?
Du meinst sicher das Viereck. Wenn wir von der Menge
$ [mm] \Sigma [/mm] = [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]$ sprechen, dann hat das mit dem Einheitskreis zunächst nichts zu tun. Die Menge enthält alle Punkte $ (x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] für die gilt $ (0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1) [mm] \wedge [/mm] (0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1)$
Versuch' dir mal eine Skizze dieser Menge zu zeichnen. II. Quadrant, Viertel und Viereck waren schon ganz gute Stichpunkte. Vielleicht meintest du ja auch das Richtige.
> Und wie komme ich auf die Indikatorfunktion?
> Soll dann statt [mm]x\le[/mm] 1 stehen: [mm]0\le x\le[/mm] 1?
Die Indikatorfunktion der Menge $ [mm] \Sigma$ [/mm] ist definiert durch
$ [mm] 1_{\Sigma}(\boldsymbol{x}) =\begin{cases} 1, & \mbox{für } \boldsymbol{x} \in \Sigma \\ 0, & \mbox{für } \boldsymbol{x}\not\in \Sigma \end{cases} [/mm] $
Unser $ [mm] \boldsymbol{x} [/mm] $ ist in diesem Fall ein Vektor [mm] $\boldsymbol{x} [/mm] =(x,y)$ wegen $ [mm] \boldsymbol{x} \in \Sigma \subset \IR^2$
[/mm]
Dann ist deine Indikatorfunktion demnach
$ [mm] 1_{\Sigma}(x,y) =\begin{cases} 1, & \mbox{für } (x,y) \in \Sigma \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \not\in \Sigma \end{cases} [/mm] $
also insbesondere
$ [mm] 1_{\Sigma}(x,y) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } (0 \le x \le 1) \wedge (0 \le y \le 1) \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
Demnach gilt
$ [mm] 1_{\Sigma}(0,3) \mapsto [/mm] 0$ und $ [mm] 1_{\Sigma}\left(1,\frac{1}{2}\right) \mapsto [/mm] 1 $ (d.h. die Indikatorfunktion [mm] $1_{\Sigma}$ [/mm] bildet den Vektor (0,3) gemäß Definition auf die Null und den Vektor [mm] \left(1,\frac{1}{2}\right) [/mm] auf die 1 ab)
Wenn noch was unklar ist, einfach melden
LG,
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:48 Do 22.06.2017 | | Autor: | Gina2013 |
Vielen lieben Dank,
jetzt verstehe ich auch mit dem Vektor.
Es ist einfach super, dass dieses Forum gibt und so nette Leute, die einem helfen!!!!
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