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| Aufgabe | | Vereinfache die Terme durch Indexverschiebung so gut wie möglich |
Ich bin wie man sieht noch leider überhaupt nicht weit gekommen:
[mm] \sum_{i=0}^n \frac{i(i+4)}{2} [/mm] + [mm] \sum_{i=4}^{n+4} \frac{i(i-4)}{2} [/mm] - [mm] \sum_{i=0}^n (i^2+3i) [/mm] =
[mm] \sum_{i=0}^n \frac{i(i+4)}{2} [/mm] + [mm] \sum_{i=4}^{n+4} \frac{i(i-4)}{2} [/mm] - [mm] \sum_{i=0}^n [/mm] i(i+3)
Erfahrungen in dem Bereich, habe ich erst, dass bspw. [mm] \produkt_{i=0}^n [/mm] i * n = [mm] \produkt_{i=0}^{n+1} [/mm] i
Kann mir jemand Anstöße geben?
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Hallo pathetic,
> Vereinfache die Terme durch Indexverschiebung so gut wie
> möglich
> Ich bin wie man sieht noch leider überhaupt nicht weit
> gekommen:
>
> [mm]\sum_{i=0}^n \frac{i(i+4)}{2}[/mm] + [mm]\sum_{i=4}^{n+4} \frac{i(i-4)}{2}[/mm]
> - [mm]\sum_{i=0}^n (i^2+3i)[/mm] =
>
> [mm]\sum_{i=0}^n \frac{i(i+4)}{2}[/mm] + [mm]\sum_{i=4}^{n+4} \frac{i(i-4)}{2}[/mm]
> - [mm]\sum_{i=0}^n[/mm] i(i+3)
>
>
> Erfahrungen in dem Bereich, habe ich erst, dass bspw.
> [mm]\produkt_{i=0}^n[/mm] i * n = [mm]\produkt_{i=0}^{n+1}[/mm] i ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das stimmt so nicht, zum einen solltest du Klammern setzen, um es eindeutig zu machen, zum anderen ist die Umformung falsch.
(naja, streng genommen stimmt sie, weil beide Produkte 0 sind, aber du meintest bestimm das Produkt ab i=1)
Es ist [mm] $\left(\prod\limits_{i=1}^ni\right)\cdot{}(n+1) [/mm] \ = \ [mm] \prod\limits_{i=1}^{n+1}i$
[/mm]
>
>
>
> Kann mir jemand Anstöße geben?
Du musst eigentlich nur 2 Dinge beachten:
(1) Aufpassen, dass du nach der Indexverschiebung über genauso viele Summanden summierst wie vorher (analog mit Multiplikation)
(2)
(a) Wenn du "am Summenzeichen" den Laufindex um k erniedrigst, musst du ihn "in der Summe" um k erhöhen
(b) Wenn du "am Summenzeichen" den Laufindex um k erhöhst, musst du ihn "in der Summe" um k erniedrigen
Also immer ausgleichen
zB. [mm] $\sum\limits_{j=10}^{30} \frac{j(j+5)}{3}$
[/mm]
Erniedrigen wir mal den Index um 2:
[mm] $=\sum\limits_{j=10-2}^{30-2} \frac{(j+2)((j+2)+5)}{3}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{j=8}^{28} \frac{(j+2)(j+7)}{3}$
[/mm]
Genauso umgekehrt, wenn du den Summationsindex erhöhst
Immer anpassen!
Machen wir noch ein Bsp. mit nem Produkt:
[mm] $\prod\limits_{{l=2}}^{m}\frac{1}{l(l-1)}$ [/mm]
Hier erhöhen wir mal den Laufindex um 10 
[mm] $=\prod\limits_{l=2+10}^{m+10}\frac{1}{(l-10)((l-1)-10)} [/mm] \ = \ [mm] \prod\limits_{l=12}^{m+10}\frac{1}{(l-10)(l-11)}$
[/mm]
Für die Aufgabe ist deine erste Umformung schon ok, im weitern schnappe dir mal die mittlere Summe und erniedrige den Laufindex um 4
Dann laufen alle 3 Summen schön von i=0 bis i=n und du kannst wunderbar vereinfachen, du wirst es sehen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Lyrn |
Hallo, ich sitze auch gerade an der Aufgabe, unser Tutor meinte wir können die Aufgabe bis auf einen Term vereinfachen. Bis jetzt habe ich:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+ \summe_{i=4}^{n+4} \bruch{i(i-4)}{2} [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{n} (i^{2}+3i)
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+ \summe_{i=0}^{n} \bruch{i+4(i)}{2} [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] (i(i+3))
=
[mm] =\summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+ \summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2} [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] (i(i+3))
[mm] =\summe_{i=0}^{n} \bruch{2i(2i+8)}{4}- \summe_{i=0}^{n} [/mm] (i(i+3))
edit: glaub jetzt hab ichs:
[mm] =\summe_{i=0}^{n}i[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich sitze auch gerade an der Aufgabe, unser Tutor
> meinte wir können die Aufgabe bis auf einen Term
> vereinfachen. Bis jetzt habe ich:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+ \summe_{i=4}^{n+4} \bruch{i(i-4)}{2}[/mm]
> - [mm]\summe_{i=0}^{n} (i^{2}+3i)[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+ \summe_{i=0}^{n} \bruch{i+4(i)}{2}[/mm]
> - [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] (i(i+3))
>
> =
> [mm]=\summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+ \summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}[/mm]
> - [mm]\summe_{i=0}^{n}[/mm] (i(i+3))
>
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n} \bruch{2i(2i+8)}{4}- \summe_{i=0}^{n}[/mm]
> (i(i+3))
>
>
> edit: glaub jetzt hab ichs:
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{n}i[/mm]
ja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht
Also:
Substituiere $k=i-4$ in der zweiten Summe. Dann läuft $i$ von $4$ bis $n+4$ genau dann, wenn $k$ von $0$ bis $n$ läuft und es gilt damit:
[mm] $$\summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+ \summe_{i=4}^{n+4} \bruch{i(i-4)}{2} -\summe_{i=0}^{n} (i^{2}+3i)=\summe_{i=0}^{n} \bruch{i(i+4)}{2}+\summe_{k=0}^{n} \bruch{(k+4)k}{2}-\summe_{i=0}^{n} (i^{2}+3i)\,.$$
[/mm]
Jetzt kann man nochmal hingucken und zusammenfassen (und sich am Ende vll. auch mal überlegen, ob man wirklich [mm] $\summe_{\red{i=0}}^{n}$ [/mm] schreiben muss oder hier nicht vll. [mm] $\summe_{\green{i=1}}^{n}$ [/mm] schreiben kann).
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Wie sieht das ganze nun aus bei Laufindizes mit Multipliaktion?
[mm] \produkt_{i=1}^{2n} [/mm] i |
Ist das dann genauso als Umkehrung mit Division?
[mm] \produkt_{i=1}^{2n} [/mm] i = [mm] \produkt_{i=\bruch{1}{2}}^{n} [/mm] 2i
Okay zugeben, Laufindize mit Bruch, ist das überhaupt in Ordnung?
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Oh nein.
Laufindizes stellen genügend Fallen, da braucht man nicht noch rationale Zahlen - oder irrationale. Natürlich könnte i auch von [mm] \wurzel{3} [/mm] bis [mm] 11+\wurzel{3} [/mm] laufen, aber da würde man immer eine Alternative wählen, die die [mm] \wurzel{3} [/mm] ins Argument der Summe (des Produkts) verlegt und i von 0 bis 11 oder vielleicht 1 bis 12 oder meinetwegen 327 bis 338 laufen lässt.
Die Laufindizes oder vielleicht besser Laufvariablen sind hier das eigentliche Problem. Sie gelten nur lokal, für die jeweilige Summe (das jeweilige Produkt). Wer es anderen leicht machen will, verwendet darum für jede Summe (jedes Produkt...) eine neue Variablenbezeichnung. Deine ursprüngliche Aufgabe könnte sich dann also auch so lesen, ohne inhaltlich die geringste Veränderung erfahren zu haben:
[mm] \sum_{i=0}^n \frac{i(i+4)}{2} [/mm] + [mm] \sum_{j=4}^{n+4} \frac{j(j-4)}{2} [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^n (k^2+3k)
[/mm]
Es fällt dann etwas leichter zu sehen, dass jede der drei Summen [mm] \a{}(n+1) [/mm] "Stationen" durchläuft. Dann lässt sich substituieren: k=i, j=i+4. Somit erhält man Summen mit gleichen Ober- und Untergrenzen für i, die sich dann leichter zusammenfassen lassen.
Ich fand für mich hilfreich, Summen (oder Produkte) in eine Programmsprache zu übersetzen. Auch da gibt es normalerweise lokale Variablen, die in einer Schleife verschiedene Werte durchlaufen. Genauso funktionieren Summen und Produkte. Für die Lesbarkeit mathematischer Notation empfiehlt sich allerdings, die Schrittweite auf +1 festzulegen (anders als in Programmen), siehe oben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie sieht das ganze nun aus bei Laufindizes mit
> Multipliaktion?
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{2n}[/mm] i
> Ist das dann genauso als Umkehrung mit Division?
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{2n}[/mm] i = [mm]\produkt_{i=\bruch{1}{2}}^{n}[/mm] 2i
>
> Okay zugeben, Laufindize mit Bruch, ist das überhaupt in
> Ordnung?
nein. Wie würdest Du denn [mm] $\produkt_{i=1/2}^{n}...$ [/mm] überhaupt definieren/interpretieren?
Bei [mm] $\produkt_{i=1}^{2n} [/mm] i$ geht man ja immer in Einer-Schritten vorwärts, d.h. i durchläuft die Werte der Menge [mm] $\{1,\,2,\,...,\,2n\}$
[/mm]
[mm] $$\produkt_{i=1}^{2n}i=1*2*...*(k-1)*k*...*(2n-1)*2n\,.$$
[/mm]
Da hast Du dann $2n$ Faktoren.
Damit [mm] $\produkt_{i=1/2}^n [/mm] (2i)$ das gleiche ist, müssen da auch $2n$ Faktoren stehe. Hier müßtest Du also in $1/2$-er-Schritten vorwärts laufen, und dann müsste hier $i$ die Werte der Menge [mm] $\{1/2,\,1,\,3/2,\,2,...,\,(2n-1)/2,\,n\}$ [/mm] durchlaufen.
Aber das wird unnötig kompliziert, wenn man dann immer die "Schrittweite" in einem Summen-/Produktzeichen mit angeben müsste (sowas könnte man vll. unter gewissen Voraussetzungen definieren, aber was soll das bringen, außer noch mehr Verwirrung)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich: |
Nabend, ich habe folgende Aufgabe zu lösen, aber mir fehlt der entscheidene Ansatz:
[mm] \bruch{\produkt_{i=1}^{2n}i}{\produkt_{i=1}^{n}(4i-2)}
[/mm]
Wäre nett wenn mir wer ein paar Ratschläge geben könnte.
Bis jetzt hab ich versucht [mm] \produkt_{i=1}^{2n}i [/mm] auf n zu bringen, indem ich durch 2 teile, aber dann wird ja i=0,5.
Wie gesagt, ich bin recht ratlos und wär über Hilfe dankbar.
Danke schonmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich:
> Nabend, ich habe folgende Aufgabe zu lösen, aber mir fehlt
> der entscheidene Ansatz:
>
> [mm]\bruch{\produkt_{i=1}^{2n}i}{\produkt_{i=1}^{n}(4i-2)}[/mm]
>
> Wäre nett wenn mir wer ein paar Ratschläge geben könnte.
>
> Bis jetzt hab ich versucht [mm]\produkt_{i=1}^{2n}i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf n zu
> bringen, indem ich durch 2 teile, aber dann wird ja i=0,5.
bitte nicht, s.o.
Tipps:
Zum Zähler:
$$\produkt_{i=1}^{2n}i=\left(\produkt_{i=1}^n (2i)\right)*\produkt_{i=1}^n (2i-1)$$
(Das Produkt der Zahlen von $1$ bis $2n$ kann man schreiben:
Produkt der geraden Zahlen von $1$ bis $2n$ multipliziert mit dem Produkt der ungeraden Zahlen von $1$ bis $2n$.)
Zum Nenner:
$$\produkt_{i=1}^n(4i-2)=\produkt_{i=1}^n 2(2i-1)=2^{(\sum_{i=1}^n 1)}*\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)=2^{n}*\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)\,.$$
Und zum Tipp:
Schreibe das alles vielleicht auch mal aus, dass Du siehst, was ich da eigentlich gemacht habe.
Zum Zähler:
$$\produkt_{i=1}^{2n}i=\blue{1}*\green{2}*\blue{3}*\green{4}*...*\blue{(2n-3)}*\green{(2n-2)}*\blue{(2n-1)}*\green{(2n)}=\left(\green{\produkt_{i=1}^{n}(2i)}\right)\blue{\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)}$$
Notfalls mach' Dir das alles auch mal für kleine $\,n\,$ klar ($n=5$, $n=10$...)
P.S.:
Als Ergebnis solltest Du erstmal $\frac{\produkt_{i=1}^n(2i)}{2^n}$ erhalten, aber danach kannst Du wieder $\produkt_{i=1}^n(2i)}=2^n\produkt_{i=1}^n i}$ schreiben, damit wird's dann ganz einfach. Vielleicht sollte man zuguter Letzt auch an Fakultäten denken...
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | [mm] \produkt_{i=1}^n(4i-2)=\produkt_{i=1}^n 2(2i-1)=2^{(\sum_{i=1}^n 1)}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)=2^{n}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)
[/mm]
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Ich versteh deine Antwort komplett, bis auf die eine Stelle mit dem 2 hoch Summe von 1 -> [mm] 2^n
[/mm]
Ist das eine Vorschrift?
[mm] \produkt_{i=1}^n 2(2i-1)=2^{(\sum_{i=1}^n 1)}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)=2^{n}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\produkt_{i=1}^n(4i-2)=\produkt_{i=1}^n 2(2i-1)=2^{(\sum_{i=1}^n 1)}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)=2^{n}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)[/mm]
>
>
> Ich versteh deine Antwort komplett, bis auf die eine Stelle
> mit dem 2 hoch Summe von 1 -> [mm]2^n[/mm]
>
> Ist das eine Vorschrift?
>
> [mm]\produkt_{i=1}^n 2(2i-1)=2^{(\sum_{i=1}^n 1)}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)=2^{n}\cdot{}\produkt_{i=1}^{n}(2i-1)[/mm]
>
ne, das sind Rechenregeln für Potenzen. Schreibe es mal aus, dann siehst Du es besser:
[mm] $$\produkt_{i=1}^n 2(2i-1)=(2*1)*(2*3)*...*(2*(2n-1))=\underbrace{2*2*...*2}_{n\text{ Stück}}*\produkt_{i=1}^n(2i-1)\,.$$
[/mm]
Mit der Regel [mm] $a^{m}*a^n=a^{m+n}$ [/mm] (die genauen Voraussetzungen erspare ich mir, sie sind hier aber gegeben) folgt dann
[mm] $$\underbrace{2*2*...*2}_{n\text{ Stück}}=\underbrace{2^1*2^1*...*2^1}_{n\text{ Stück}}=2^{\underbrace{1+1+...+1}_{n \text{ Stück}}}=2^{\sum_{i=1}^n 1}=2^n\,,$$
[/mm]
wobei Du bitte [mm] $n=\underbrace{1+1+...+1}_{n \text{ Stück}}=\sum_{i=1}^n [/mm] 1$ beachtest.
Gruß,
Marcel
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