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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Di 25.11.2008 | | Autor: | cipoint |
| Aufgabe | | Sei V ein K-Vektorraum mit Basis [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm]. Zeige: Zu jedem Unterraum [mm]U \subseteq V[/mm] gibt es eine Teilmenge [mm]S \subseteq \{1,...,n \} [/mm] derart, dass [mm] W:= \summe_{i \in S} Kv_{i} [/mm] ein Komplement von U in V ist. |
Ich formuliere die Behauptung um:
[mm] \forall (U \subseteq V) \exists (S \subseteq \{ 1, ..., n \}) : \summe_{i \in S} Kv_{i} \oplus U=V [/mm]
Nun sage ich [mm] U=span(v_k) [/mm] mit [mm] k \in \{1, ..., n \} [/mm], da U Unterraum von V.
Jetzt folgt aus der Definition der direkten Summe, dass wenn [mm] v_m [/mm] Element von U ist, [mm] v_m [/mm] nicht in [mm] \summe_{i \in S} Kv_{i} [/mm] liegt. Daraus folgt [mm] m \not= i [/mm] und daraus [mm] m \not\in S [/mm] .
Das läuft auf folgende Implikation hinaus: [mm] v_m \in U \Rightarrow m \not\in S [/mm]. Umgeformt [mm] m \in S \Rightarrow v_m \not\in U [/mm] .
Ich weiß aber nicht, wie ich weitermachen soll. Genügt es, zu zeigen, dass S alle Elemente aus [1,n] enthält, die ungleich k sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Mi 26.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei V ein K-Vektorraum mit Basis [mm]v_{1},...,v_{n}[/mm]. Zeige: Zu
> jedem Unterraum [mm]U \subseteq V[/mm] gibt es eine Teilmenge [mm]S \subseteq \{1,...,n \}[/mm]
> derart, dass [mm]W:= \summe_{i \in S} Kv_{i}[/mm] ein Komplement von
> U in V ist.
> Ich formuliere die Behauptung um:
> [mm]\forall (U \subseteq V) \exists (S \subseteq \{ 1, ..., n \}) : \summe_{i \in S} Kv_{i} \oplus U=V[/mm]
Das ist doch genau dasselbe nochmal, nur noch kryptischer... Versuche nicht alles in Formeln zu pressen, sondern schreibe ordentliche deutsche Sätze!
> Nun sage ich [mm]U=span(v_k)[/mm] mit [mm]k \in \{1, ..., n \} [/mm], da U
> Unterraum von V.
Das geht so nicht. Es lässt sich nicht jeder Unterraum als span der [mm] $v_k$ [/mm] darstellen,
betrachte z.B. [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der Standartbasis [mm] $\{e_1,e_2\}$ [/mm] und dem Unterraum [mm] $U:=\operatorname{span}((1,1)^t)$.
[/mm]
Aber die grundsätzliche Idee ist schon richtig, das (oder vielmehr ein) Komplement erhälst du, indem du genau diejenigen Vektoren [mm] $v_k$ [/mm] "linearkombinierst", die nicht in U liegen.
Das heißt: setze [mm] $S:=\{1\le k\le n|v_k\not\in U\}\subset\{1,...,n\}$ [/mm] und zeige dass dann [mm] $W=\sum_{i\in S}K\cdot v_i$ [/mm] ein Komplement von $U$ ist, d.h.
(1) [mm] W\cap U=\{0\}
[/mm]
(2) W+U=V
Bei (1) musst du benutzen dass die [mm] $v_k$ [/mm] linear unabhängig sind und (2) ist ja klar, denn $W+U$ ist ein Vektorraum, der alle [mm] $v_k$ [/mm] enthält...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Mi 26.11.2008 | | Autor: | cipoint |
Vielen Dank! Ich werde den Beweis morgen ausarbeiten und hier posten. Eines verstehe ich noch nicht ganz. Warum ist nach deinem Lösungsweg gezeigt, dass es ein S für alle U gibt?
Was wäre eigentlich, wenn U=V gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Mi 26.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Eines verstehe ich noch nicht ganz. Warum ist nach
> deinem Lösungsweg gezeigt, dass es ein S für alle U gibt?
Weil ich zu einem beliebigen Unterraum U eine Menge S explizit hingeschrieben habe, die die geforderten Eigenschaften erfüllt...
> Was wäre eigentlich, wenn U=V gilt?
Ja, in diesem Fall ist [mm] $S=\emptyset$ [/mm] und [mm] $W=\{0\}$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 26.11.2008 | | Autor: | cipoint |
So, habe jetzt auf unnötige Formeln verzichtet und den Beweis möglichst geschrieben. Ist der nun schlüssig? Oder noch zu schwammig?
Beweis im Anhang.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 26.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu schwammig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 26.11.2008 | | Autor: | cipoint |
Was genau ist zu schwammig? 1) oder 2)? Mein Problem ist, dass ich kein Gefühl dafür habe, wann ein Beweis wasserdicht ist. Eigentlich studiere ich Physik, daher auch die Schwierigkeiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Do 27.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Was genau ist zu schwammig? 1) oder 2)?
Also erstmal gut, dass du Sätze schreibst 
Trotzdem ist dein Beweis noch ziemlich ungenau, teilweise falsch und unklar. (keine Sorge, das ist normal!)
> Zeige 1): W ist eine Linearkombination der Vektoren der Basis von V.
> U ist eine Linearkombination aller Vektoren der Basis von V, die W nicht erzeugen.
> Da eine Basis nur linearunabhängige Vektoren enthält,
Das klingt als wäre "lineare unabhängig" eine Eigenschaft eines Vektors für sich, aber lineare Unabhängigkeit bezieht sich immer auf eine Menge von Vektoren. Richtig wäre "eine Basis ist linear unabhängig", bzw in diesem kontext "die Menge [mm] $\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] ist linear unabhängig".
> ist jedes Element aus W und U eindeutig und kann nur entweder ein Element von W oder von U sein.
Was soll das bedeuten "jedes Element aus W" ist eindeutig? Es ist vollkommen unklar was du damit meinst und auch, wie es aus obigem folgen soll.
> Da W und U Vektorräume sind, haben sie das Nullelement gemeinsam,
Richtig. Das ist vollkommen ausreichend, was danach kommt brauchst du gar nicht.
> welches (wegen der linearen Unabhängigkeit) gebildet wird, indem alle
> Koeffizienten auf Null gesetzt werden.
Das ist erstens vollkommen überflüssig, denn bereits in der Definition eines Vektorraumes steht, dass es die $0$ enthält. Außerdem hat das rein gar nichts mit der linearen Unabhängigkeit zu tun.
Der erste Teil ist insgesamt noch vollkommen mangelhaft. Das einzige was ich dir jetzt (auch wenn deine Begründung noch ein bischen seltsam ist) glauben würde ist, dass [mm] $0\in W\cap [/mm] U$ liegt. Du musst so herangehen:
"Wir wollen zeigen, dass [mm]v\in W\cap U\Rightarrow v=0[/mm]. Sei also v ein belibiges Element aus [mm] $W\cap [/mm] U$. Dann lässt sich, da [mm]v\in W[/mm] ist, v schreiben als [mm] $v=\sum_{i\in S}a_i v_i$ [/mm] und da auch [mm]v\in U[/mm] ist, [mm] $v=\sum_{i\not\in S}a_i v_i$ [/mm] für gewisse [mm] $a_i\in [/mm] K$. Also gilt [mm] $\sum_{i\in S}a_i v_i=\sum_{i\not\in S}a_i v_i\Rightarrow $\sum_{i\in S}a_i v_i-\sum_{i\not\in S}a_i v_i=0$. [/mm] Da aber die [mm] $v_i$ [/mm] linear unabhängig sind, folgt [mm] $a_i=0$ [/mm] für alle i (schau dir an, wie "lineare Unabhängigkeit" definiert ist!), und somit v=0."
(In einem "richtigen" Mathebuch würde das sicherlich noch kürzer stehen, aber das liegt nicht daran, dass die Sachen die dann fehlen überflüssig wären, sondern dass man als Mathematiker solche "Lücken" irgendwann sieht, aber genau weiß wie sie zu füllen sind, da es sozusagen "Standart-Tricks" sind. Eine Sprache spricht man am Anfang auch sehr langsam, aber je besser man es kann, desto mehr lässt man weg - man muss aber trotzdem immer wissen, was man tut!)
> Zeige 2): Die direkte Summe aus W und U ist gerade V. Man nehme beliebig viele Vektoren
> aus V und bilde daraus U. Dann wird W durch alle restlichen Vektoren der Basis von V erzeugt.
Hä?
> Die (direkte) Summe ist dann [mm] $\sum_{i\in S}Kv_i\oplus [/mm] U [mm] =(\lambda_1v_1+...+\lambda_xv_x)+(\lambda_{x+1}v_{x+1}+...+\lambda_yv_y)=V, [/mm]
> wobei 1 bis x Elemente aus S und x+1 bis y Elemente aus [mm] $[1;n]\setminus [/mm] S$. Dabei gilt die
> Nummerierung der vi ohne Beschränkung der Allgemeinheit, da die Reihenfolge der die Basis
> von V bildenden Vektoren vertauscht werden kann.
Ich verstehe was du meinst, aber es ist völlig wüst aufgeschrieben. Um zu zeigen, dass $U+W=V$ ist, musst du zeigen:
(1) [mm] $U+W\subset [/mm] V$
(2) [mm] $U+W\supset [/mm] V$
Um (1) zu zeigen, muss dein Beweis folgende Form haben "Sei [mm]v\in U+W[/mm] beliebig. Dann ... ist [mm]v\in V[/mm]."
Für (2) geht es genauso, nur umgekehrt, d.h. "Sei [mm]v\in V[/mm] beliebig. Dann ... ist [mm]v\in U+W[/mm]."
> Mein Problem ist, dass ich kein Gefühl dafür habe, wann ein Beweis
> wasserdicht ist. Eigentlich studiere ich Physik, daher auch die Schwierigkeiten.
Beweisen lernt man im wesentlichen durch zwei Dinge:
1) Beobachten. Lies und verstehe Beweise in guten Mathematik-Büchern. Je schwieriger die Beweise sind, desto mehr wirst du dabei lernen.
2) Imitieren. Beweise selbst. Zwischen einem richtigen und einem schönen Beweis liegen Welten. Frage dich, wie es dein Professor gemacht hätte, oder der Autor deines Lieblingsmathebuches. Ich persönlich schreibe meine Beweise eigentlich immer so, als würde man sie in ein Buch drucken.
Beweisen lernen ist schwierig. Ich studiere reine Mathematik und denke man braucht mindestens ein Jahr und unzählige Stunden Übung dazu, bevor man halbwegs saubere Beweise schreiben kann. Ich würde sogar behaupten, dass man Beweisen nicht lernen kann, ohne die Mathematik intensiv zu studieren. Vor allem kann man es nicht nebenbei lernen, deshalb mach dich, da du ja Physik studierst, jetzt nicht zu verrückt deswegen. Ihr seid nunmal keine Mathematiker, und ich sehe auch nicht was der Sinn daran sein soll, dass ihr mathematisch einwandfreie Beweise formulieren können müsst. Es ist vielmehr so, dass "Beweisen" ungemein das logische Schließen, Argumentieren und abstrankte Denken schult, schon allein deshalb gehört es in alle Naturwissenschaftlichen Studiengänge.
Gruß, Robert
PS: Es wäre für mich wesentlich einfacher gewesen, du hättest den Beweis nicht als PDF hier angehängt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Do 27.11.2008 | | Autor: | cipoint |
Herzlichen Dank für deine Hilfe und deine Meinung!
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