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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Mi 21.11.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Zeige:
a) Jede Untergruppe von $Z(G)$ ist normal in $G$.
b) Der Index von $Z(G)$ in $G$ kann keine Primzahl sein. |
Hi :)
ist es wirklich so einfach?
a) Wir wissen aus der Vorlesung, dass das Zentrum von $G$ eine Untergruppe von $G$ ist. Das Zentrum ist der abelsche Kern einer Gruppe und damit selbst eine abelsche Gruppe. Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist normal. Damit gilt die Behauptung.
b) nach Lagrange folgt, dass
$[G:Z(G)] = [mm] \bruch{|G|}{|Z(G)|}$
[/mm]
Angenommen der Index sei nun eine Primzahl. Dann ist die Ordnung von $G/Z(G)$ eine Primzahl. Für endliche Gruppen (Warum ist die Linksnebenklasse nun ne Gruppe?) mit Primzahlordnung gilt, sie sind zyklisch. Zyklische Gruppen sind abelsch, weil sie von einem Element erzeugt werden. Damit ist $Z(G)=G$. Somit [mm] $\bruch{|G|}{|Z(G)|} [/mm] = 1$. Das ist keine Primzahl und damit ein Widerspruch zur Annahme.
Geht das so???
Ich danke euch.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Do 22.11.2012 | | Autor: | hippias |
> Zeige:
> a) Jede Untergruppe von [mm]Z(G)[/mm] ist normal in [mm]G[/mm].
> b) Der Index von [mm]Z(G)[/mm] in [mm]G[/mm] kann keine Primzahl sein.
> Hi :)
>
> ist es wirklich so einfach?
>
> a) Wir wissen aus der Vorlesung, dass das Zentrum von [mm]G[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]G[/mm] ist. Das Zentrum ist der abelsche
> Kern einer Gruppe und damit selbst eine abelsche Gruppe.
> Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist normal. Damit
> gilt die Behauptung.
Dieser Schluss waere richtig, wenn $G$ abelsch waere; so haettest Du nur, dass jede Untergruppe von $Z(G)$ normal in $Z(G)$ ist. Es duerfte Dir helfen, wenn Du Dich erinnerst, wie das Zentrum definiert ist.
>
> b) nach Lagrange folgt, dass
>
> [mm][G:Z(G)] = \bruch{|G|}{|Z(G)|}[/mm]
>
> Angenommen der Index sei nun eine Primzahl. Dann ist die
> Ordnung von [mm]G/Z(G)[/mm] eine Primzahl. Für endliche Gruppen
> (Warum ist die Linksnebenklasse nun ne Gruppe?)
Achtung, dies ist eine Menge von Nebenklassen. Diese Menge kann durch geeignete Verknuepfung zu einer Gruppe gemacht werden.
> mit
> Primzahlordnung gilt, sie sind zyklisch. Zyklische Gruppen
> sind abelsch, weil sie von einem Element erzeugt werden.
> Damit ist [mm]Z(G)=G[/mm]. Somit [mm]\bruch{|G|}{|Z(G)|} = 1[/mm]. Das ist
> keine Primzahl und damit ein Widerspruch zur Annahme.
Verstehe ich nicht: Richtig ist, dass die Gruppe $G/Z(G)$ von einem Element erzeugt wird und daher die Gruppe $G/Z(G)$ abelsch ist. Versuche Dir folgendes klarzumachen: Wenn $G/Z(G)$ von der Nebenklasse $aZ(G)$ erzeugt wird, dann laesst sich jedes [mm] $g\in [/mm] G$ schreiben als $g= [mm] a^{n}z$, [/mm] wobei [mm] $n\in \IZ$ [/mm] und [mm] $z\in [/mm] Z(G)$. Schlussfolgere dann, dass $G$ abelsch ist.
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> Geht das so???
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> Ich danke euch.
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> Liebe Grüße,
> Ana-Lena
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