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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Sa 05.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo ich soll folgendes beweisen:
(1 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] ^n [mm] \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
Nun hab ich aber das Problem das ich den Induktionsanfang schon nicht hinbekomme. Wenn ich das für n = 1 zeigen möchte erhalte ich 2 [mm] \le [/mm] 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Bedenke, dass beim Summenzeichen der Laufindex bei $k \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] beginnt.
[mm] $\summe_{k=0}^{1}\bruch{1}{k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1} [/mm] \ = \ 1+1 \ = \ 2$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 05.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich hab das so berechnet:
linke seite: 1 + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 2
rechte seite: [mm] \bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] = 1
--> 2 [mm] \le [/mm] 1
oder ??
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Hallo!
> linke seite: 1 + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 2
> rechte seite: [mm]\bruch{1}{k!}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0!}[/mm] = 1
>
> --> 2 [mm]\le[/mm] 1
>
> oder ??
Aber auf der rechten Seite steht doch ein Summenzeichen, und wenn n=1 ist musst du doch die Summanden für k=0 und für k=1 berechnen. Und dann steht da: [mm] \bruch{1}{0!}+\bruch{1}{1!}=2. [/mm] Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Sa 05.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
whhaaa.. ja stimmt.. entschuldige ich bin noch nicht so firm in sachen summenzeichen... daaankeee *wink*
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:10 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hier mal meine Fortschritte. Ich schreibe nur den Indkutionsschritt, also Behauptung und Beweis auf... :
Behauptung:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{k!} \ge (1+\bruch{1}{n+1})^n+1
[/mm]
Beweis:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{k!} =\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)!} \ge (1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} \ge (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)!}
[/mm]
sooda hänge ich jetzt. Wie komme ich jetzt auf [mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] ????
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Hallo MissYumi,
Leider konnte Dir in der von Dir vorgesehenen Zeit keiner weiterhelfen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:47 Mo 07.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich soll beweisen (mit 0! = 1):
(1+ [mm] \bruch{1}{n})^n \le \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}
[/mm]
Im Indukionsschritt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] = (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
= (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)!}
[/mm]
wegen der Fakutltät komme ich nicht weiter. weis nicht wie ich da am ende auf (1 + [mm] \bruch{1}{(n+1)})^{n+1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Bitte keine Doppelpostings hier innerhalb des MatheRaums einstellen! Und vermeide doch auch solch kurzfristige Fälligkeiten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Di 08.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo MissYumi!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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