In welchem Punkt ist f stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In welchen Punkten ist die Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge {1} \\ \bruch{1}{n}, , & \mbox{für } \bruch{1}{n}\le x < \bruch{1}{n-1}, \mbox{ (n = 2,3,4...) } \\ 0, , & \mbox{für } x \le 0 , \mbox{} \end{cases}
[/mm]
stetig? |
So wie ich die Definition von Stetigkeit verstanden habe, ist eine Funktion genau dann stetig, wenn kleine Variationen an der Variablen einer Funtion nur geringe veränderungen der Funktionswerte der Funktion bewirken.
Nun zu meiner ersten Frage, wie ist es wenn Variationen der Variablen einer Funktion überhaupt keine Auswirkungen auf die Funtionswerte zeigen, so wie es bei dieser Funktion für die Werte x [mm] \ge [/mm] 1; [mm] \bruch{1}{n}\le [/mm] x < [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] und x [mm] \le [/mm] der Fall ist?
Nach meinem Verständnis sind die interessanten Stellen der Funktion:
x = 1
x = 0
hierbei ist es interessant zu sehen wie die Funktion reagiert wenn sich x den Werten von "rechts" und von "links" nähert.
Für x = 1 erhalte ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow1+}f(x)=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}f(x)=\bruch{1}{2-1}=\bruch{1}{1}=1 [/mm] ...und somit stetig
Für x = 0 erhalte ich:
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}f(x)=\bruch{1}{\infty-1}=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0-}f(x)=0 [/mm] .....somit ebenfalls stetig.
Sind meine Überlegungen richtig?
Liebe Grüße, Julia
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Hallo Julia,
das stimmt so noch nicht.
> In welchen Punkten ist die Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\ge {1} \\ \bruch{1}{n}, , & \mbox{für } \bruch{1}{n}\le x < \bruch{1}{n-1}, \mbox{ (n = 2,3,4...) } \\ 0, , & \mbox{für } x \le 0 , \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> stetig?
> So wie ich die Definition von Stetigkeit verstanden habe,
> ist eine Funktion genau dann stetig, wenn kleine
> Variationen an der Variablen einer Funtion nur geringe
> veränderungen der Funktionswerte der Funktion bewirken.
Naja, das ist eine recht grobe Formulierung...
> Nun zu meiner ersten Frage, wie ist es wenn Variationen der
> Variablen einer Funktion überhaupt keine Auswirkungen auf
> die Funtionswerte zeigen, so wie es bei dieser Funktion
> für die Werte x [mm]\ge[/mm] 1; [mm]\bruch{1}{n}\le[/mm] x < [mm]\bruch{1}{n-1}[/mm]
> und x [mm]\le[/mm] 0 der Fall ist?
>
> Nach meinem Verständnis sind die interessanten Stellen der
> Funktion:
> x = 1
> x = 0
Und alle 1/n 
> hierbei ist es interessant zu sehen wie die Funktion
> reagiert wenn sich x den Werten von "rechts" und von
> "links" nähert.
>
> Für x = 1 erhalte ich:
> [mm]\limes_{x\rightarrow1+}f(x)=1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}f(x)=\bruch{1}{2-1}=\bruch{1}{1}=1[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist nicht der angegebene Funktionswert!
> ...und somit stetig
Eben nicht.
> Für x = 0 erhalte ich:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}f(x)=\bruch{1}{\infty-1}=0[/mm]
Im Ergebnis ist das richtig, richtig aufgeschrieben ist es nicht, zumal wieder nicht mit dem richtigen Funktionswert. Du verwechselst offenbar Funktionswert und obere Grenze des jeweiligen Definitionsbereichs.
> [mm]\limes_{x\rightarrow0-}f(x)=0[/mm] .....somit ebenfalls
> stetig.
Das stimmt.
> Sind meine Überlegungen richtig?
>
> Liebe Grüße, Julia
Grüße
reverend
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Okay, Zusammengefasst:
Die Funktion ist an den Stellen: x [mm] \ge [/mm] 1; [mm] \bruch{1}{n} \le [/mm] x < [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] und x [mm] \le [/mm] 0 stetig, zu Untersuchen bleiben die Übergänge bei: x = 1; x = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und x = 0.
Dies sieht dann wie folgt aus:
Für x = 1:
[mm] \limes_{x\rightarrow1+}f(x)=1
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1-}f(x)=\bruch{1}{n}=\bruch{1}{2} [/mm] ...somit nicht stetig
Für x = [mm] \bruch{1}{n}:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow \bruch{1}{n}+}f(x)= \bruch{1}{n}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow \bruch{1}{n}-}f(x)= \bruch{1}{n+1}=\bruch{1}{3} [/mm] ...somit nicht stetig
Für x = 0:
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}f(x)=\bruch{1}{n}=\bruch{1}{\infty}=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0-}f(x)=0 [/mm] ...somit stetig
Im Vorraus vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo Julia,
das sieht viel besser aus, fast fertig.
> Okay, Zusammengefasst:
>
> Die Funktion ist an den Stellen: [mm] x\red{\ge}1; \bruch{1}{n}\red{\le}x<\bruch{1}{n-1} [/mm] und [mm] x\red{\le}0 [/mm] stetig,
Hier ist jeweils die Gleichheit zuviel. Die untersuchst Du doch gleich erst. Und die Formulierung ist holprig, weil Du ja keine "Stellen" angibst, sondern ganze Bereiche. Also besser: Die Funktion ist für ... stetig.
> zu Untersuchen
> bleiben die Übergänge bei: x = 1; x = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und x
> = 0.
Angabe zu n fehlt (auch wenn sie in der Definition der Funktion ja steht): [mm] n\ge{2}
[/mm]
> Dies sieht dann wie folgt aus:
> Für x = 1:
> [mm]\limes_{x\rightarrow1+}f(x)=1[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow1-}f(x)=\bruch{1}{n}=\bruch{1}{2}[/mm]
Die zweite Gleichung ist so nicht korrekt, und das [mm] \tfrac{1}{n} [/mm] führt hier ein bisschen in die Irre. Zumindest solltest Du dann die Laufrichtung des n angeben [mm] (n\to{2}).
[/mm]
> ...somit nicht stetig
>
> Für x = [mm]\bruch{1}{n}:[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow \bruch{1}{n}+}f(x)= \bruch{1}{n}=\bruch{1}{2}[/mm]
Nein, hier ist das n ja fest. Der rechtsseitige Grenzwert ist also [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und nicht [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Du untersuchst hier unendlich viele Stellen gleichzeitig.
> [mm]\limes_{x\rightarrow \bruch{1}{n}-}f(x)= \bruch{1}{n+1}=\bruch{1}{3}[/mm]
Entsprechend. Der linksseitige Grenzwert ist [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
> ...somit nicht stetig
>
> Für x = 0:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}f(x)=\bruch{1}{n}=\bruch{1}{\infty}=0[/mm]
Das ist nicht sauber. Korrekt wäre
[mm] \limes_{x\to 0_+}f(x)=\limes_{n\to (+)\infty}\bruch{1}{n}=0
[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow0-}f(x)=0[/mm] ...somit stetig
>
> Im Vorraus vielen Dank für die Hilfe!
heraus mit dem r!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:53 Di 15.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe die selbe Aufgabe und wollte fragen, ob jemand mir sagen kann, ob das was ich gemacht habe ok ist.
Die Funktion ist nicht stetig in Punkten der Form [mm] x=\bruch{1}{n} [/mm] mit n [mm] \in [/mm] IN, n>0
Dies folgt daraus, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{1}{n}^+}=f(x)=\bruch{1}{n+1}=\bruch{1}{n}=\limes_{x\rightarrow\bruch{1}{n}^-} [/mm] f(x)
In allen anderen Punkten ist f stetig
Für [mm] x\not= [/mm] 0 folgt dies daraus, dass es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt, so dass f im Intervall [mm] (x-\delta,x+\delta) [/mm] konstant ist.
Für x=0
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+} [/mm] f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty^+} \bruch{1}{n}=0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-} [/mm] f(x)=0
somit stetig.
Lg Melisa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 17.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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