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| Aufgabe | 1) [m]8x^3 + 27[/m]
2) [m]2x^2 + 21x + 10[/m]
3) [m]x^3 - 4x^2 + 2x - 8[/m]
4) [m]x(x - \bruch{1}{2})^3 + y(x - \bruch{1}{2})^2[/m]
5) [m]5x^{\bruch{1}{3}}(x - 5)^{\bruch{2}{3}} - 7x^{\bruch{4}{3}(x - 5)^{-\bruch{1}{3}}[/m] |
Hallo Leute,
ich habe Probleme diese Aufgaben in Faktoren zu zerlegen. Irgendwie liegt mir das Thema nicht so recht. Kann mir jemand helfen? Ich habe bei allen Aufgaben irgendwie keine Ahnung, wie ich das machen soll...
Danke Leute!
Steffi
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> 1) [m]8x^3 + 27[/m]
> 2) [m]2x^2 + 21x + 10[/m]
> 3) [m]x^3 - 4x^2 + 2x - 8[/m]
Hallo,
die ersten drei Funktionen sind Polynome. Hier ist die Nullstellensuch ein brandheißer Tip.
Kurz gefaßt, da Du keine eigenen Lösungsversuche postest und ich nicht weiß, was Du weißt: Nullstelle suchen (z.B. raten), entsprechenden Linearfaktor herausziehen (Polynomdivision), ggf. Nullstelle vom verbleibenden Faktor bestimmen.
Bei den nächsten Funktionen kannst Du ausklammern:
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> 4) [m]x(x - \bruch{1}{2})^3 + y(x - \bruch{1}{2})^2[/m]
In beiden Summanden steckt der Faktor (x - [mm] \bruch{1}{2})^2. [/mm] Klammere ihn aus.
> 5)
> [m]5x^{\bruch{1}{3}}(x - 5)^{\bruch{2}{3}} - 7x^{\bruch{4}{3}}(x - 5)^{-\bruch{1}{3}}[/m]
Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Z.B. so:
es ist [mm] 5x^{\bruch{1}{3}}(x [/mm] - [mm] 5)^{\bruch{2}{3}} [/mm] - [mm] 7x^{\bruch{4}{3}}(x [/mm] - [mm] 5)^{-\bruch{1}{3}}=5x^{\bruch{1}{3}}(x [/mm] - [mm] 5)^{\bruch{2}{3}} [/mm] - [mm] \bruch{7x^{\bruch{4}{3}}}{(x - 5)^{\bruch{1}{3}}}.
[/mm]
Auf den gemeinsamen Nenner (x - [mm] 5)^{\bruch{1}{3}} [/mm] bringen, auf einen Bruchstrich schreiben, und dann im Zähler noch [mm] x^{\bruch{1}{3}} [/mm] ausklammern.
Mach mal vor wie weit Du kommst, schildere ggf. Dein Problem genau und poste Deine rechnungen mit.
Gruß v. Angela
> Hallo Leute,
>
> ich habe Probleme diese Aufgaben in Faktoren zu zerlegen.
> Irgendwie liegt mir das Thema nicht so recht. Kann mir
> jemand helfen? Ich habe bei allen Aufgaben irgendwie keine
> Ahnung, wie ich das machen soll...
>
> Danke Leute!
>
> Steffi
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Okay, Polynomdivision habe ich noch nie gemacht, aber ich denke, dass es ganz gut wäre, dass mal zu lernen (ich muss das wahrscheinlich sowieso nachholen. Lernt man die Polynomdivision in der 11?)! Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet. Ich habe bei den ersten 3 Aufgaben die ersten Schritte selber gemacht, aber bei der Polynomdivision bleibe ich stecken.
1) [m]8x^3 + 27 : (x+\bruch{2}{3})[/m]
2) [m]2x^2 + 21x + 10 : (x+\bruch{1}{2})[/m]
3) [m]x^3 - 4x^2 + 2x - 8 : (x-4)[/m]
4) [m]x(x - \bruch{1}{2})^3 + y(x - \bruch{1}{2})^2 = (x-\bruch{1}{2})^2 \left[x(x-\bruch{1}{2})+y\right] [/m]
5) [m]5x^{\bruch{1}{3}}(x - 5)^{\bruch{2}{3}} - \bruch{7x^{\bruch{4}{3}}}{(x - 5)^{\bruch{1}{3}}} = (x-5)^{\bruch{1}{3}} \left[\bruch{5x^{\bruch{1}{3}}(x-5)^{\bruch{1}{3}} - 7x^{\bruch{4}{3}}}{1}\right] = (x-5)^{\bruch{1}{3}} \left[x^{\bruch{1}{3}}\left[5(x-5)^{\bruch{1}{3}}7x\right]\right][/m]
Habe ich einen Fehler bei 4 oder 5 gemacht?
Danke Leute!!
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ohh die 5 hab ich falsch. Hier nochmal:
[mm] 5x^{\bruch{1}{3}}*(x-5)^{\bruch{2}{3}}-\bruch{7x^\bruch{4}{3}}{(x-5)^{\bruch{1}{3}}} [/mm] = [mm] \bruch{5x^\bruch{1}{3}*(x-5)^\bruch{2}{3}*(x-5)^\bruch{1}{3}}{(x-5)\bruch{1}{3}} [/mm] - [mm] \bruch{7x^\bruch{4}{3}}{(x-5)^{\bruch{1}{3}}} [/mm] = [mm] (x-5)^{\bruch{1}{3}} \left[5x^{\bruch{1}{3}} * (x-5) - 7x^{\bruch{4}{3}}\right] [/mm] = [mm] (x-5)^{\bruch{1}{3}} \left[x^{\bruch{1}{3}}\left[5 - 7x \right] * (x-5)\right]
[/mm]
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Achsooooo, boor bin ich doooof ey. Jetzt sollte es aber richtig sein 
[mm] 5x^{\bruch{1}{3}}*(x-5)^{\bruch{2}{3}}-\bruch{7x^\bruch{4}{3}}{(x-5)^{\bruch{1}{3}}} [/mm]
= [mm] \bruch{5x^\bruch{1}{3}*(x-5)^\bruch{2}{3}*(x-5)^\bruch{1}{3}}{(x-5)\bruch{1}{3}} [/mm] - [mm] \bruch{7x^\bruch{4}{3}}{(x-5)^{\bruch{1}{3}}} [/mm]
= [mm] (x-5)^{-\bruch{1}{3}} \left[5x^{\bruch{1}{3}} * (x-5) - 7x^{\bruch{4}{3}}\right] [/mm]
= [mm] (x-5)^{-\bruch{1}{3}}[x^\bruch{1}{3}(5(x-5)-7x)] [/mm]
= [mm] (x-5)^{-\bruch{1}{3}}\left[x^\bruch{1}{3}(5x-25-7x)\right] [/mm]
= [mm] (x-5)^{-\bruch{1}{3}}\left[x^\bruch{1}{3}(-2x-25)\right] [/mm]
= [mm] x^\bruch{1}{3}(x-5)^{-\bruch{1}{3}}(-2x-25)
[/mm]
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> Achsooooo, boor bin ich doooof ey. Jetzt sollte es aber
> richtig sein
>
> [mm]5x^{\bruch{1}{3}}*(x-5)^{\bruch{2}{3}}-\bruch{7x^\bruch{4}{3}}{(x-5)^{\bruch{1}{3}}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{5x^\bruch{1}{3}*(x-5)^\bruch{2}{3}*(x-5)^\bruch{1}{3}}{(x-5)\bruch{1}{3}}[/mm]
> - [mm]\bruch{7x^\bruch{4}{3}}{(x-5)^{\bruch{1}{3}}}[/mm]
> = [mm](x-5)^{-\bruch{1}{3}} \left[5x^{\bruch{1}{3}} * (x-5) - 7x^{\bruch{4}{3}}\right][/mm]
> = [mm](x-5)^{-\bruch{1}{3}}[x^\bruch{1}{3}(5(x-5)-7x)][/mm]
> =
> [mm](x-5)^{-\bruch{1}{3}}\left[x^\bruch{1}{3}(5x-25-7x)\right][/mm]
> = [mm](x-5)^{-\bruch{1}{3}}\left[x^\bruch{1}{3}(-2x-25)\right][/mm]
> = [mm]x^\bruch{1}{3}(x-5)^{-\bruch{1}{3}}(-2x-25)[/mm]
Hallo,
ich hab' keinen Fehler entdeckt.
Gruß v. Angela
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1.) [mm] 8x^3 [/mm] + 27 soll faktorisiert werden. Ein Polynom lässt sich schreiben als Produkt von (x - [mm] x_{1})*(x [/mm] - [mm] x_{2})... [/mm] wobei [mm] x_{i} [/mm] die Nullstellen sind.
wir fangen mal an: [mm] 8x^3 [/mm] + 27 = 0 [mm] \Rightarrow 8x^3 [/mm] = -27 [mm] \Rightarrow x^3 [/mm] = [mm] \bruch{-27}{8} \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{2}
[/mm]
also Polynomdivision: [mm] (8x^3 [/mm] + 27) : (x + [mm] \bruch{3}{2}) [/mm]
du fängst einfach vorne an: [mm] 8x^3 [/mm] : x = [mm] 8x^2 [/mm] dann rückwärts [mm] 8x^2*(x [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] = [mm] 8x^3 [/mm] + [mm] 12x^2 [/mm] das musst du jetzt von deinem Ausgangspolynom abziehen [mm] \Rightarrow 8x^3 [/mm] - [mm] 8x^3 [/mm] = 0 und [mm] 0x^2 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] = [mm] -12x^2
[/mm]
Jetzt gehts wieder von vorne los. Also [mm] -12x^2 [/mm] : (x + [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] = -12x jetzt wieder rückwärts multiplizieren -12x*(x + [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] = [mm] -12x^2 [/mm] - 18x
von oben abziehen [mm] \Rightarrow -12x^2 [/mm] - [mm] (-12x^2) [/mm] = 0 und 0x - (-18x) = 18x
Jetzt noch 18x : (x + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = 18 rückwärts muliplizieren und von oben abziehen ergibt alles 0 also
[mm] 8x^3 [/mm] + 27 : (x + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] 8x^2 [/mm] - 12x + 18 (das ist das Ergebnis der Polynomdivision) für die Faktorisierung bedeutet das:
[mm] 8x^3 [/mm] + 27 = [mm] (8x^2 [/mm] - 12x + 18)*(x + [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] wenn du das gleiche noch mal für den Ausdruck vorne machst (p,q -Formel nutzen) hast du ein Produkt mit 3 Faktoren...
So jetzt viel Spass mit den anderen Aufgaben
Gruss Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Mo 15.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur polynomdivision: sieh mal hier nach, das find ich gut erklärt, und du kannst eigene Beispiele auf dem papier rechnen und dann nachprüfen
![[]](/images/popup.gif) polynomdivision Brünner
bei quadratischen gleichungen kannst du einfach die Nullstellen nehmen, [mm] ax^2+bx+c=a(x^2+b/a*x+c/a)=a(x-x1)*(x-x2)
[/mm]
wenn x1,x2 die Nullstellen von [mm] x^2+b/a*x+c/a [/mm] sind.
Grus leduart
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der ausgeklammerte Term muss [mm] $(x-5)^{\red{-}\bruch{1}{3}}$ [/mm] lauten.
