ε-δ-Kriterium für Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:36 Do 07.07.2011 | | Autor: | ggg |
Hallo Zusammen,
Ich kann mir das ε-δ-Kriterium für Grenzwerte von Funktionen schwer veranschauliohen.
Erst die Definition dann die Frage!
Definition.
Sei D ⊆ R, f : D [mm] \mapsto [/mm] R eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D.
Wir nennen y ∈ R den Grenzwert von f in a, falls
∀ ε > 0 ∃ δ_{ε}> 0 : ∀ x ∈ D mit 0 < |x − a| < δ_{ε} gilt |f(x) − y| < ε.
Wir schreiben dann
lim f(x) = y
x→a
oder f(x) [mm] \to [/mm] y für x [mm] \to [/mm] a und sagen, f(x) konvergiert gegen y für x gegen a.
Frage:
1)In wie fern hängt das δ_{ε} von ε ab?
2)Für das δ_{ε} gilt das Existenzquantor und für das ε das Allquantor. Was heißt das graphisch (also wenn ich mir einen Graphen vorstelle) und wie wirkt sich das graphisch aus?
3)Weiterhin, wie kann ich mir das graphisch vorstellen?
Ich würde mich echt freuen, wenn sich einer meiner annehmen würde.
Mit Besten Grüßen
Jonas
|
|
| |
|
> Hallo Zusammen,
>
> Ich kann mir das ε-δ-Kriterium für Grenzwerte von
> Funktionen schwer veranschauliohen.
> Erst die Definition dann die Frage!
Hallo,
die Definition voranzustellen und wirklich mal hinzuschreiben, ist eine gute Idee.
>
>
> Definition.
> Sei D ⊆ R, f : D [mm]\mapsto[/mm] R eine Funktion und a ein
> Häufungspunkt von D.
> Wir nennen y ∈ R den Grenzwert von f in a, falls
> ∀ ε > 0 ∃ δ_{ε}> 0 : ∀ x ∈ D mit 0 < |x − a|
> < δ_{ε} gilt |f(x) − y| < ε.
> Wir schreiben dann
> lim f(x) = y
> x→a
> oder f(x) [mm]\to[/mm] y für x [mm]\to[/mm] a und sagen, f(x) konvergiert
> gegen y für x gegen a.
>
> Frage:
> 3)Weiterhin, wie kann ich mir das graphisch vorstellen?
Wenn Du "ein bißchen am a wackelst", also ein bißchen links und rechts vom a guckst, dan nweichen die zugehörigen Funktionswerte nur "ein bißchen" von f(a) ab.
Beispiel:
a. stetige Funktion:
Nehmen wir [mm] f(x):=x^2 [/mm] und a=2. Schaue ich die Funktionswerte von x-Werten an, die dicht bei a=2 liegen, so sind sie sehr in der Nähe von f(2)=4.
b. unstetige Funktion:
wir betrachten die Funktion mit [mm]f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x\le 7\\
1, & \mbox{fuer } x>7 \end{cases}[/mm].
Sie ist, wie Du beim Zeichnen sofort merkst, unstetig an der Stelle x=7.
Schauen wir die Funktionswerte "um die 7 herum" an: links der 7 sind die Funktionswerte dicht an f(7), in unserem Beispiel sogar gleich, aber wenn man nur ein winziges Stück nach rechts geht, sind die Funktionswerte "weit weg" von f(7)=0.
> 2)Für das δ_{ε} gilt das Existenzquantor und für das ε
> das Allquantor.
Ja.
Das bedeutet: zu einem beliebig vorgegebenen [mm] "\varepsilon-Spielraum" [/mm] um den Funktionswert von a, also f(a) herum, findest Du einen passenden "δ_{ε}-Spielraum" um a herum, so daß, wenn Du die Argumente aus dem Intervall ]a-δ_{ε}, a+δ_{ε}[ nimmst, ihre Funktionswerte im Intervall [mm] ]f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon[ [/mm] gefangen sind.
I.d.R. darf für ein großes [mm] \varepsilon [/mm] das zugehörige δ_{ε} größer sein als für ein kleines.
Der Clou: "für alle [mm] \varepsilon [/mm] existiert ein δ_{ε}": ich kann die Umgebung um den Funktionswert f(a) so klein wählen, wie ich mag, immer finde ich eine passende δ_{ε}-Umgebung um a. so daß alles klappt.
> Was heißt das graphisch (also wenn ich mir
> einen Graphen vorstelle) und wie wirkt sich das graphisch
> aus?
Schau nochmal auf die unstetige Funktion b:
Wenn ich hier sage: [mm] \varepsilon:=3, [/mm] dann ist es überhaupt kein Problem, eine passene δ_{ε}-Umgebung von 7 zu finden, etwa δ_{3}=2:
für alle x [mm] \in [/mm] ]7-3, 7+3[ gilt, daß [mm] f(x)\in [/mm] ]f(7)-2, f(7)+3[.
δ_{3}:=5 oder =0.43 oder =0.00000001 hätten ebensogut funktioniert. Es geht nur darum, irgendein passendes δ_{3} zu finden.
Gebe ich aber vor [mm] \varepsilon:=0.25, [/mm] so klappt das nicht mehr. Wie klein auch immer ich δ_{0.25 } wähle, immer wird es [mm] x\in [/mm] ]7-δ_{0.25},7+δ_{0.25}[ geben, für welche f(x) aus dem Intervall ]f(7)-0.25, f(7)+0.25[=]-0.25, 0.25[ herausspringt.
> 1)In wie fern hängt das δ_{ε} von ε ab?
Für ein großzügiges [mm] \varepsilon [/mm] kann man auch das [mm] \delta_{\varepsilon} [/mm] ein bißchen großzügig wählen.
Fürs δ_{ε} gibt's immer viele Möglichkeiten. Wenn man weiß, daß es mit δ_{ε}=0.5 klappt, dann geht's natürlich auch mit allen, die kleiner sind.
Es geht nur darum, ob man zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] irgendein passendes δ_{ε} findet.
Wenn's mal angenommen mit [mm] δ_{ε}:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{\pi} [/mm] funktioniert, dann auch mit [mm] δ_{ε}:=\bruch{\wurzel{\varepsilon}}{4711*\pi}.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: Guck auch mal bei http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/stetigkeit/stetigkeit.html unter [mm] \varepsilon-\vardelta-Kriterium. [/mm] Dort gibt's auch zwei Bildchen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Do 07.07.2011 | | Autor: | ggg |
Ich danke dir für deinen Aufwand und deiner echt guten Erklärung!
Es leuchtet mir alles zum Größtenteils ein; sofern mir noch was unklar erscheint, werde mich zurück melden.
Danke nochmals und viele liebe Grüße
Jonas
|
|
|
|
