Impulsantwort im Z-Bereich < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:34 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Twinkie |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Impulsantwort für das diskrete System H_oG(z) = [mm] \frac{1-e^{-aT}}{z-e^{-aT}}
[/mm]
[mm] \frac{Y(z)}{z} [/mm] = [mm] (z^{-1}*z)\frac{1-e^{-aT}}{z-e^{-aT}} [/mm]
Mit a=1=T folgt
[mm] \frac{Y(z)}{z} [/mm] = [mm] z^{-1} \frac{(1-e^{-1})z}{z-e^{-1}}
[/mm]
Inverse Z-Transofmration liefert
y(t) = [mm] (1-e^{-1})e^{(t-1)}
[/mm]
Unter anderem ist der letzte Schritt unklar. |
Hallo liebe Forumsmitglieder.
Ich verstehe hier einiges nicht, ich poste die Zeilen noch mal, und schreibe dazu, was unklar ist.
[mm] \frac{Y(z)}{z} [/mm] = [mm] (z^{-1}*z)\frac{1-e^{-aT}}{z-e^{-aT}} [/mm]
1. In der Vorlesung hatten wir einen Satz: Impulsantwort = Z-Transformierte der Übertragungsfunktion
Okay, auf der rechten Seite steht mit [mm] z^{-1}*z [/mm] gerade eine 1. So weit so gut. Aber auf der linken Seite steht Y(z) geteilt durch z. Das verwundert mich hier.
Mit a=1=T folgt
[mm] \frac{Y(z)}{z} =z^{-1} \frac{(1-e^{-1})z}{z-e^{-1}}
[/mm]
Inverse Z-Transofmration liefert
y(t) = [mm] (1-e^{-1})e^{(t-1)}
[/mm]
2.Auch bei der Z-Transformation gilt Linearität, also erhalte ich
y(t) = [mm] (1-e^{-1})*Z(\frac{z}{z-e^{-1}})
[/mm]
Jetzt gucke ich in die Tabelle, die sagt: F(z) = [mm] \frac{z}{z-e^{-aT}} [/mm] => f(t) = [mm] e^{at}. [/mm] Interessanterweise wurde groß t gerade gleich 1 gesetzt. Ich erhielte, wenn ich mir das T wieder dazu denke, gerade
[mm] Z(\frac{z}{z-e^{-1}})=e^{1t}
[/mm]
Insgesamt also
y(t) = [mm] (1-e^{-1})*e^t
[/mm]
So, und weil groß T gerade gleich 1 ist, muss ich hier noch multiplizieren mit
y(t) = [mm] (1-e^{-1})*e^t*e^{-1}
[/mm]
in dem Fall erhalte ich dann auch die vorgegebene Impulsantwort. Nur reime ich mir da gerade etwas zu Recht.
Kann mir jemand helfen?
Danke
Twinkie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo twinkie,
die z-Transformierte ist doch die Laplacetransformierte eines diskreten Zeitsignals. Die Impulsantwort ist die Rücktransformierte der Übertragungsfunktion im z-Bereich. Ist diese durch Dein H_oG (z) gegeben, so muss diese Größe rücktransformiert werden. Mir ist unklar, was das Y(z) hier bedeuten soll und außerdem muss als Antwort eine zeitdiskrete Folge rauskommen, bei Dir ist es aber ein zeitkontinuierliches Signal.
Wie gesagt, hier ist was faul.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Twinkie |
Hallo infinit.
Danke für deine Antwort, aber Punkt 2 ist für mich noch nicht beantwortet (vielleicht hast du ihn ja auch mit Absicht ausgelassen, dann auch gut, aber weißt du zufällig, wie das mit der Z-Transformation dort geht?) Siehe unten, aber zunächst
> die z-Transformierte ist doch die Laplacetransformierte
> eines diskreten Zeitsignals. Die Impulsantwort ist die
> Rücktransformierte der Übertragungsfunktion im z-Bereich.
Ich nehme an, dass wir das in der Vorlesung durch "Impulsantwort = Z-Transformierte der Übertragungsfunktion" einfach anders definiert haben und y(t) auch okay ist.
> Ist diese durch Dein H_oG (z) gegeben, so muss diese
> Größe rücktransformiert werden.
Na ja, die Aufgabe davor hieß: Rechnen Sie das gegebene System (G(s) = [mm] \frac{a}{s+a}) [/mm] in ein diskretes Streckenmodell um. Im Prinzip ist es also gegeben.
>Mir ist unklar, was das
> Y(z) hier bedeuten soll
Wie man merkt, kenne ich mich nicht so gut aus. Ich dachte, wenn ich Y(z)/z schreibe, wäre schon alles klar.
Bei der Berechnung der Sprungantwort (selbe Aufgabe) steht da folgendes
Y(z) = [mm] U(z)*H_0*G(z) [/mm] = [mm] \frac{z}{z-1}*\frac{1-e^{-aT}}{z-e^{-aT}}
[/mm]
und die restliche Lösung:
[mm] \frac{Y(z)}{z} [/mm] = [mm] \frac{1}{z-1}\frac{1-e^{-aT}}{z-e^{-aT}}
[/mm]
a=1=T =>
Y(z)/z = [mm] \frac{1}{z-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{z-e^{-1}} [/mm] => y(t) = [mm] 1-e^{-t}
[/mm]
Ich fürchte, hier ist deine Kritik auch wieder: Statt Zeitbereich sollte ein abgetastes Signal dastehen.
>und außerdem muss als Antwort eine
> zeitdiskrete Folge rauskommen, bei Dir ist es aber ein
> zeitkontinuierliches Signal.
Man könnte y(t) hinterher noch abtasten 
> Wie gesagt, hier ist was faul.
Wie würdest du das denn machen? Am tollsten wäre es natürlich, würdest du mit y(t) weiterreichnen :) Aber auch über andere Vorschläge freue ich mich.
Ich kopiere noch einmal den entsprechenden Teil, ich glaube, das ist am einfachsten, und eine neue Idee habe ich noch nicht (falls du das nicht weißt, dann lassen wir es einfach aus)
$ [mm] \frac{Y(z)}{z} =z^{-1} \frac{(1-e^{-1})z}{z-e^{-1}} [/mm] $
Inverse Z-Transofmration liefert
y(t) = $ [mm] (1-e^{-1})e^{(t-1)} [/mm] $
2.Auch bei der Z-Transformation gilt Linearität, also erhalte ich
y(t) = $ [mm] (1-e^{-1})\cdot{}Z(\frac{z}{z-e^{-1}}) [/mm] $
Jetzt gucke ich in die Tabelle, die sagt: F(z) = $ [mm] \frac{z}{z-e^{-aT}} [/mm] $ => f(t) = $ [mm] e^{at}. [/mm] $ Interessanterweise wurde groß t gerade gleich 1 gesetzt. Ich erhielte, wenn ich mir das T wieder dazu denke, gerade
$ [mm] Z(\frac{z}{z-e^{-1}})=e^{1t} [/mm] $
Insgesamt also
y(t) = $ [mm] (1-e^{-1})\cdot{}e^t [/mm] $
So, und weil groß T gerade gleich 1 ist, muss ich hier noch multiplizieren mit
y(t) = $ [mm] (1-e^{-1})\cdot{}e^t\cdot{}e^{-1} [/mm] $
in dem Fall erhalte ich dann auch die vorgegebene Impulsantwort.
Die Z-Transformation ist mir also nicht klar!
Und übrigens extra danke, dass du auch auf die merkwürdigen Fragen antwortest, wo irgendetwas durcheinander geht.
(Ich stoße deswegen auch immer wieder an meine Grenzen und kann kaum Verständnis dafür entwickeln.)
Liebe Grüße
Twinkie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 05.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo twinkie,
ich glaube, ich bin hier etwas weitergekommen, Die Rechnung ist schon okay, aber die Nomenklatur ist.... , na ja, nennen wir sie mal freundlich "gewöhnungsbedürftig".
Ich versuche das hier mal in der Form aufzuschreiben, wie ich es gewohnt bin, nämlich mit diskreten Signalen.
Also, was wir brauchen ist die Rücktransformierte Deiner Größe
$$ G(z) = ( 1 - e^{- a T}) \cdot \bruch{1}{z - e^{-aT} \, . $$
Der erste Faktor ist eine Konstante und kann vor die Rücktransformierte gezogen werden und damit müssen wir uns nur noch um die Rücktransformierte des Ausdrucks
$$ \bruch{1}{z - e^{-aT} $$ kümmern.
Dein Nachschlagen in der Tabelle liefert wirklich eine um einen Abtasttakt nach rechts verschobene diskrete Zeitfolge. Für eine Exponentialfolge gilt
$$ {\cal Z}^{-1} (\bruch{z}{z-a}) = a^n $$
und steht im Zähler des Bruchs eine 1 statt einem z so bekommt man
$$ {\cal Z}^{-1} (\bruch{1}{z-a}) = a^{n-1} $$ für [mm] n \geq 1 [/mm].
Ja, so kommt Dein Ergebnis zustande, wenn bei Dir auch ein kontinuierliches t steht im Exponenten der Rücktransformierten.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 So 06.09.2009 | | Autor: | Twinkie |
Hi Infinit.
Dankeschön, ich habe das nun verstanden :)
Viele Grüße
Twinkiw
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