Impuls-Energie-Problem < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
in Vorbereitung auf die IPhO-Auswahl habe ich mich mal im Metzler auf Suche nach Hilfsmitteln gemacht. Dabei bin ich auf die Impuls-Energie gestoßen, die besagt, dass:
[mm] $E^2-(cp)^2= E_0^2$
[/mm]
Im Folgenden wurde dort eine Reaktion p+p-->p+p+p+ p(quer) [p(quer) sei ein Antiproton]
wobei ein Proton in Ruhe sei und das andere sich auf dieses zubewege.
Man wollte die minimale Energie, die das anfliegende Proton haben muss, um diese Reaktion zu vollziehen.
Mein Problem steckt im folgenden:
Die im Metzler betrachten die Impulsenergie nun im Laborsystem vor dem Stoß, und im Schwerpunktsystem nach dem Stoß und schreiben:
[mm] $\sqrt{E^2-(cp)^2}= 4E_0$
[/mm]
Eigentlich versteh ich das auch, nur, wieso ergibt sich ein Widerspruch, wenn ich jetzt den gleichen Satz anwende auf die Teilchen vor dem Stoß:
[mm] $\sqrt{E^2-(cp)^2} [/mm] = [mm] 2E_0$, [/mm] die Ruheenergie der beiden anfänglichen Protonen.
Habe ich etwas nicht beachtet? Muss ich vielleicht irgendetwas anders machen, da sich ja die Ruhemassen ändern.
Mit freundlichem Gruß,
David Stein
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Die Gleichung [mm] E^2=E_0^2+(pc)^2 [/mm] gilt für einen Körper, der den Impuls p und gleichzeitig die Ruhmasse [mm] E_0 [/mm] hat.
Zu Beginn ruht ein Proton, während das andere in Bewegung ist.
Für das erste ist [mm] E_1=E_0, [/mm] da p=0 ist; für das zweite aber ist [mm] E_2^2=E_0^2+(pc)^2 [/mm] und damit [mm] E_2 [/mm] = [mm] \wurzel{E_0^2+(pc)^2}. [/mm] Somit ergibt sich die Gesamtenergie zu [mm] E_1+E_2=E_0+\wurzel{E_0^2+(pc)^2}.
[/mm]
Nicht richtig wäre es, zu sagen, das System besteht aus zwei Protonen mit der gesamten Ruhmasse von [mm] 2E_0 [/mm] und dem Gesamtimpuls pc (nämlich dem Impuls des zweiten Protons), und damit ist für dieses System die Gesamtenergie [mm] E^2=(2E_0)^2+(pc)^2=4E_0^2+(pc)^2! [/mm]
Nach dem Stoß könnten die Protonen theoretisch den Gesamtimpuls zu gleichen Teilen aufnehmen und damit einen Gesamtkörper bilden, der mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit weiterfliegt. Dann hätte jedes Teilchen den Impuls pc/4 (p=Anfangsimpuls des zweiten Protons). Nun ergibt sich vier mal
[mm] E_1^2=E_0^2+(pc/4)^2 [/mm] und daraus [mm] E_1=\wurzel{E_0^2+(pc/4)^2} [/mm] sowie E = [mm] 4*E_1=4*\wurzel{E_0^2+(pc/4)^2} [/mm] ;
oder als Gesamtkörper: [mm] E^2=(4E_0)^2+(pc)^2, [/mm] also [mm] E=\wurzel{16E_0^2+(pc)^2}=\wurzel{16E_0^2+16(pc/4)^2}=4*\wurzel{E_0^2+(pc/4)^2} [/mm] wie oben.
Zusatzbemerkung: Keine dieser Betrachtungen findet im Schwerpunktsystem statt. Sobald man ein System wechselt, ändern sich Impulse und Energien. Man kann die Berechnungen in jedem beliebigen System vornehmen, muss aber bei Bilanzen in einem System bleiben.
Berechne zur Übung nicht-relativistisch: Eine Kugel mit 10 g Masse und 600 m/s schlägt in einen 2 kg schweren Holzklotz und bleibt darin stecken.
a) Wie schnell fliegen beide weiter, wie sind die Energien, wieviel Energie wurde in Wärme umgesetzt?
b) Du sitzt auf der fliegenden Kugel und der Klotz kommt mit 600 m/s auf dich zu. Berechne nun die (völlig anderen) Energien. Stelle fest, dass aber genau so viel Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird wie zuvor!
Die Zahlen zeigen dir, dass du nicht "vor und nach dem Stoß" in verschiedenen Systemen berechnen kannst.
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Mh im Buch schreiben die aber, dass die Größe:
[mm] $E_{imp}= \sqrt{E^2-(cp)^2}$ [/mm] eine Invariante unter Systemwechsel ist. Ferner schreiben die im Buch, dass diese Konstante dann [mm] $E_0$ [/mm] ist. Ich glaube, mein Fehler liegt im wesentlichen darin, dass ich 2 Massen betrachtet habe, und die im Gegensatz zu einer Einzelmasse, wo [mm] $E_{imp}=E_0$ [/mm] gilt, auch im Schwerpunktsystem durchaus auch eine kinetische Energie haben können, aber nur keinen Gesamtimpuls.
Mit freundlichem Gruß und vielen Dank für die ausführliche Antwort,
David Stein
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Ich weiß nicht, was die Bezeichnung imp bedeuten soll, aber das Ganze lässt sich an einem einfachen Beispiel gut veranschaulichen.
Zwei Teilchen der jeweiligen Masse [mm] m_0 [/mm] fliegen mit v=0,6 c bzw. v=-0,6c auseinander, der Gesamtimpuls des Systems ist somit 0. Diese Bewegung könnte z.B. eine Wärmebewegung von zwei gleichen Atomen sein, die in irgendeinem masselosen Kasten eingeschlossen sind, dann (gleichzeitig) gegen die Kastenwände prallen und zurückkehren, also immer hin und her fliegen - aber das ist zunächst nicht so wichtig.
Der relat. Faktor ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-0,6^2}}=1,25. [/mm] Damit werden beide Masseteilchen die Massen [mm] m_1=1,25m_0 [/mm] haben, das Gesamtsystem damit [mm] 2,5m_0 [/mm] und damit die Gesamtenergie E = [mm] 2m_1c^2=2,5m_0c^2.
[/mm]
Nun bewegen wir uns relativ mit =0,2c zu diesem System. Die Geschwindigkeiten müssen nach der relat. Geschwindigkeitsformel berechnet werden. Die eine Masse sehen wir mit [mm] v_1=\bruch{0,6+0,2}{1+0,6*0,2}c=\bruch{5}{7}c [/mm] fliegen, die anderen mit [mm] v_2=\bruch{-0,6+0,2}{1-0,6*0,2}c=-\bruch{5}{11}c.
[/mm]
Daraus ergeben sich nun veränderte Massen: Für die erste Masse ist der relat. Faktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{5}{7})^2}}=\bruch{7}{\wurzel{24}}=\bruch{14}{\wurzel{96}}, [/mm] für die zweite [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-(\bruch{5}{11})^2}}=\bruch{11}{\wurzel{96}}.
[/mm]
Damit hat man einmal die Masse [mm] m_0*\bruch{14}{\wurzel{96}} [/mm] mit dem Impuls [mm] \bruch{10}{\wurzel{96}}m_0c [/mm] und dann die Masse [mm] m_0\bruch{11}{\wurzel{96}} [/mm] mit dem Impuls [mm] -\bruch{5}{\wurzel{96}}m_0c.
[/mm]
Das System hat nun für uns die Gesamtenergie [mm] E_{ges} [/mm] = [mm] m_{ges}c^2= m_0*\bruch{25}{\wurzel{96}}c^2 [/mm] und den Gesamtimpuls [mm] \bruch{5}{\wurzel{96}}m_0c.
[/mm]
Errechnet man nun [mm] E_{imp}=\wurzel{E_{ges}^2-(pc)^2}, [/mm] so erhält man [mm] 2,5m_0c^2.
[/mm]
Das ist aber nicht die "wahre" Ruhmasse, sondern, wie wir oben gesehen haben, die Masse, die das System hat, wenn sein Schwerpunkt ruht. Mit anderen Worten:
Wenn wir von einem fliegenden Klumpen Materie obiges [mm] E_{imp} [/mm] berechnen, wobei p der Gesamtimpuls des Systems sein soll, kommt in jedem Bezugssystem der selbe Wert heraus. Es ist nicht die Summe der Ruhenergieen aller Atome, sondern die Summe der Energien aller in Wärmebewegung befindlichen Atome im Bezugssystem des als ruhend angenommenen Schwerpunktes. Mit anderen Worten: Der ruhende Klumpen hat schon auf Grund seiner inneren Wärmebewegungen eine erhöhte relativistische Masse. Wir können aber so rechnen, als wäre das seine Ruhmasse und als käme die Gesamtenergie durch die Zusatzbewegung seines Schwerpunktes nach der Formel [mm] E_{ges}^2=E{imp}^2+(pc)^2 [/mm] zustande.
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Okay vielen Dank für die ausführliche Erläuterung, hat mir sehr geholfen.
Mit freundlichem Gruß,
David Stein
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