Implizite, Umkehr, Lagra. Satz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:15 So 16.09.2012 | | Autor: | Ganz |
Moin
ich habe eine frage zum satz über impliziten funktion. satz über die umkehrfunktion und satz über lagrangesche multiplikatoren. Mein problem ist, dass ich nicht weiß was die sätze aussagen. Vielleich kann einer von euch mir in einpaar sätzen zu jedem satz eine erklärung schreiben. das würde mir sehr helfen, da ich die erklärungen die sonst im internet sind nicht verstehe.
Satz über implizite Funktion: i) [mm] \exists \varepsilon, \delta>0: B_{\delta}(x_{0})x B_{\varepsilon}(y_{0})\subseteq [/mm] U, sodass zu jedem x [mm] \in B_{\delta}(x_{0}) [/mm] die Gleichung f(x,y)=0 genau eine Lösung y [mm] \in B_{\varepsilon}(y_{0}) [/mm] hat.
ii) Die durch i) eindeutig bestimmte Funktion g: [mm] B_{\delta}(x_{0})-> B_{\varepsilon}(y_{0}) [/mm] mit F(x,g(x))=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_{\delta}(x_{0}) [/mm] ist stetig differenzierbar.
iii) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in B_{\delta}(x_{0}) [/mm] ist [mm] D_{y}F(x,g(x)) [/mm] invertierbar und es gilt [mm] g´(x)=-(D_{y}F(x,g(x)))^{-1}D_{x}F(x,g(x))
[/mm]
Umkehrsatz: Sei f:U [mm] \subseteq \IR^{p}->\IR^{p}, [/mm] U offen, p [mm] \in \IN, [/mm] stetig differenzierbar und sei s [mm] \in [/mm] U ein Punkt wo f´(s) invertierbar ist. Dann gibt es eine offene Umgebung W von s in U und eine offene Umgebung V von n=f(s), sodass f:W->V bijektiv ist. Die Umkehrfunktion von f ist stetig differenzierbar und [mm] (f^{-1})´(n)=(f´(s))^{-1}
[/mm]
Lagrange: Sei f:U [mm] \subseteq \IR^{n}->\IR, [/mm] g: [mm] U->\IR^{p} (1\le [/mm] p < n) stetig differenzierbar, [mm] x_{0} \in [/mm] U. Die Jacobimatrix [mm] J_{g}(x_{0}) [/mm] habe Höchstrang (=p) und es gelte [mm] g(x_{0})=0. [/mm] Dann gilt: Hat f (eingeschränkt auf M), wobei M={x [mm] \in [/mm] U; g(x)=0}, ein lok. Extremum in [mm] x_{0}, [/mm] dann [mm] \exists \lambda_{1},...,\lambda_{p} \in \IR [/mm] (Langr. Multiplikatoren), sodass [mm] f´(x_{0})+ \summe_{j=1}^{p} \lambda_{j} g_{j}(x_{0})=0
[/mm]
Habe jetzt noch unsere Sätze aufgeschrieben.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 17.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Der Satz über implizite Funktionen steht da aber nicht vollständig ;)
Vielleicht wird es dir helfen dir erstmal für Die Sätze und insb. den Satz über implizite Funktionen ein Beispiel anzuschauen.
http://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/SS08/Analysis2/Doc/ana2.pdf
hier auf Seite 99 steht ein Bsp und wunderbar erklärt ;) es sind aber einige Fehler in dem Skript im Satz und Beweis enthalten, aber die selbst auszubessern sollte kein Problem sein.
Die anderen beiden Sätze beweist man mit dem SÜIF.
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