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Implizite Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Sa 06.12.2008
Autor: tedd

Aufgabe
Bestimmen Sie den Graphen der folgenden impliziten "Funktion":
[mm] x^4+y^3=x^3+y^2 [/mm]

Hallo!
Ich komme hier nicht weiter...
Hatte mehrere Ansätze mit denen ich aber nicht richtig umzugehen weis:

einmal:

[mm] x^4-x^3=y^2-y^3 [/mm]
x*(x*(x*(x-1)))=y*(y*(1-y))

Linke und rechte Seite sind Null, wenn x=0 und y=0;x=0 und y=1; x=1 und y=0; x=1 und y=1...

Aber dann habe ich ja nur 4 Punkte...

Könnte auch noch auf Polarkoordinaten transformieren:

[mm] r^4*cos^4(\phi)+r^3*sin^3(\phi)=r^3*cos^3(\phi)+r^2*sin^2(\phi) [/mm]

geteilt durch [mm] r^2 [/mm]
Fall 1 [mm] r\not=0 [/mm]
[mm] r^2*cos^4(\phi)+r*sin^3(\phi)-r*cos^3(\phi)-sin^2(\phi)=0 [/mm]

Fall 1.a [mm] cos^4(\phi)\not=0 [/mm]
[mm] r^2+r*(\bruch{sin^3(\phi)-cos^3(\phi)}{cos^4(\phi)})-\bruch{sin^2(\phi)}{cos^4(\phi)}=0 [/mm]

[mm] r=-\bruch{sin^3(\phi)-cos^3(\phi)}{2*cos^4(\phi)}\pm\sqrt{\left(\bruch{sin^3(\phi)-cos^3(\phi)}{2*cos^4(\phi)}\right)^2+\bruch{sin^2(\phi)}{cos^4(\phi)}} [/mm]

Fall 1.b [mm] cos^4(\phi)=0 [/mm] bzw [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}+k*\pi [/mm]
[mm] 0+r*\underbrace{sin^3(\bruch{\pi}{2}+k*\pi )}_{=\pm1}-0-\underbrace{sin^2(\bruch{\pi}{2}+k*\pi)}_{=1}=0 [/mm]

[mm] sin^3(\phi)=-1 [/mm] für [mm] \phi=-\bruch{\pi}{2}+k*2\pi [/mm]

r*-1+r*1=0 also r=1, r=-1 oder r=0 für [mm] -\bruch{\pi}{2}+k*2\pi [/mm]


[mm] sin^3(\phi)=1 [/mm] für [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}+k*2\pi [/mm]

r*1+r*1=0 also r=0 für [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}+k*2\pi [/mm]

Fall 2: r=0
0=0


Habe die Vermutung, dass das ganze auch einfacher gehen könnte, vor allem find ich die Funktion die nach der p/q-Formel rauskommt auch nicht gerade schick, obwohl man dann ja "nur" eine Wertetabelle mit verschiedenen Winkeln machen müsste.
Also hat irgendwer eine Idee? :-)

Danke und Gruß,
tedd

        
Bezug
Implizite Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 06.12.2008
Autor: reverend


> Bestimmen Sie den Graphen der folgenden impliziten
> "Funktion":
>  [mm]x^4+y^3=x^3+y^2[/mm]
>  
> [mm]x^4-x^3=y^2-y^3[/mm]
>  x*(x*(x*(x-1)))=y*(y*(1-y))
>  
> Linke und rechte Seite sind Null, wenn x=0 und y=0;x=0 und
> y=1; x=1 und y=0; x=1 und y=1...
>  
> Aber dann habe ich ja nur 4 Punkte...

Ja, für links=rechts=0 gibt's auch nur die vier. Und wieviele gibt's für links=rechts=a mit [mm] a=\wurzel{2} [/mm] oder [mm] \a{}a=14391,248 [/mm] oder [mm] a=-\bruch{3}{13} [/mm] ?

> Könnte auch noch auf Polarkoordinaten transformieren:
>  

Gute Idee.

> Habe die Vermutung, dass das ganze auch einfacher gehen
> könnte, vor allem find ich die Funktion die nach der
> p/q-Formel rauskommt auch nicht gerade schick, obwohl man
> dann ja "nur" eine Wertetabelle mit verschiedenen Winkeln
> machen müsste.

Schon. Deine "nicht gerade schicke" Funktion (wegen des [mm] \pm [/mm] besser aufzuteilen in zwei Funktionen) hat den Vorteil, periodisch zu sein. Du darfst also zwei geschlossene Kurven erwarten.

>  Also hat irgendwer eine Idee? :-)
>  
> Danke und Gruß,
>  tedd


Bezug
                
Bezug
Implizite Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Sa 06.12.2008
Autor: tedd

Okay wenn es anders nicht (einfacher) geht...

Hab's dann mit Polarkoordinatentransformation und nach r aufgelöst gemacht.
Hatte mich mit dem r bei den Fallunterscheidungen ein klein wenig vertan aber im Grunde ist es so geblieben wie oben.

Danke und Gruß,
tedd

Bezug
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