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| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion F: IR x IR -> IR, die durch F(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2*y [/mm] - [mm] 2y^2 [/mm] - 10y definiert ist.
Begründen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen, dass durch die Beziehung F(x,y) = 0 die Variable y in einer Umgebung des Punktes (2,1) als implizite Funktion f von x definiert ist. |
Ich habe keine Ahnung. Wenn sich jemand auskennt, bitte mal kurz erläutern. Vielleicht gibt es auch ne bekannte inet seite, die das anschaulich darlegt.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 03.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei eine Funktion F: IR x IR -> IR, die durch
> F(x,y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2*y[/mm] - [mm]2y^2[/mm] - 10y definiert ist.
>
>
> Begründen Sie mit Hilfe des Satzes über implizite
> Funktionen, dass durch die Beziehung F(x,y) = 0 die
> Variable y in einer Umgebung des Punktes (2,1) als
> implizite Funktion f von x definiert ist.
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> Ich habe keine Ahnung. Wenn sich jemand auskennt, bitte mal
> kurz erläutern. Vielleicht gibt es auch ne bekannte inet
> seite, die das anschaulich darlegt.
Der ![[]](/images/popup.gif) Satz über implizite Funktionen sagt, dass die Gleichung [mm]F(x,y) = 0[/mm] in einer Umgebung des Punktes [mm](2,1)[/mm] eindeutig nach y auflösbar ist zu einer stetig differenzierbaren Funktion von x, wenn
a) [mm]F(2,1)=0[/mm];
b) F ist in einer Umgebung von [mm](2,1)[/mm] stetig differenzierbar;
c) [mm]\bruch{\partial F}{\partial y}(2,1) \not=0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hat mir sehr geholfen.
Ich habe noch eine Frage zur zweiten Bedingung.
F ist in einer Umgebung von $ (2,1) $ stetig differenzierbar;
Muss ich das explizit nachweisen oder genügt das partielle Ableiten nach x und nach y ?
Und wenn ich das explizit nachweisen soll, wie gehe ich da vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mi 03.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> F ist in einer Umgebung von [mm](2,1)[/mm] stetig differenzierbar;
>
> Muss ich das explizit nachweisen oder genügt das partielle
> Ableiten nach x und nach y ?
Das genügt nicht, es gibt nicht differenzierbare Funktionen, bei denen die partiellen Ableitungen existieren.
Im vorliegenden Fall ist es aber kein Problem, weil F ein Polynom in x und y ist, und damit sogar unendlich oft stetig differenzierbar.
Viele Grüße
Rainer
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und wie muss ich das zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
identische und konstante Funktionen sind differenzierbar, das ist nach Definition trivial. Also sind auch Polynome differenzierbar, da es sich hierbei um Zusammensetzungen handelt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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