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Hallo zusammen
Muss folgende Aufgabe lösen:
Zeige, dass durch das Gleichungssystem
[mm] x^2-y*cos(uv)+z^2=0
[/mm]
[mm] x^2+y^2-sin(uv)+2z^2=2
[/mm]
xy-sin(u)cos(v)+z=0
die Werte von x,y,z lokal um [mm] a_0=(u_0,v_0,x_0,y_0,z_0)=(\pi/2,0,1,1,0) \in \IR^5 [/mm] als Funktion von u und v eindeutig bestimmt sind und berechne:
[mm] \bruch{\partial x}{\partial u}(\pi/2,0) [/mm] und [mm] \bruch{\partial x}{\partial v}(\pi/2,0).
[/mm]
Habe eigentlich keine Probleme mit impliziten Funktionen, aber hatte auch noch nie ein Gleichungssystem. Habe es wie folgt gelöst:
Als erstes ist es ja so, dass [mm] x^2+y^2-sin(uv)+2z^2=2 \gdw x^2+y^2-sin(uv)+2z^2-2=0
[/mm]
So nun habe ich die Jacobimatrix berechnet:
[mm] J_f(a)= \pmat{ 2x & -cos(uv) & 2z & ysin(uv)v & ysin(uv)u \\ 2x & 2y & 4z & -cos(uv)v & -cos(uv)u \\ y & x & 1 & -cos(u)cos(v) & sin(u)sin(v) }
[/mm]
[mm] J_f(a_0)=\pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 & -\pi/2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Wie kann ich nun weiter machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Muss folgende Aufgabe lösen:
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> Zeige, dass durch das Gleichungssystem
> [mm]x^2-y*cos(uv)+z^2=0[/mm]
> [mm]x^2+y^2-sin(uv)+2z^2=2[/mm]
> xy-sin(u)cos(v)+z=0
> die Werte von x,y,z lokal um
> [mm]a_0=(u_0,v_0,x_0,y_0,z_0)=(\pi/2,0,1,1,0) \in \IR^5[/mm] als
> Funktion von u und v eindeutig bestimmt sind und berechne:
> [mm]\bruch{\partial x}{\partial u}(\pi/2,0)[/mm] und [mm]\bruch{\partial x}{\partial v}(\pi/2,0).[/mm]
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> Habe eigentlich keine Probleme mit impliziten Funktionen,
> aber hatte auch noch nie ein Gleichungssystem. Habe es wie
> folgt gelöst:
> Als erstes ist es ja so, dass [mm]x^2+y^2-sin(uv)+2z^2=2 \gdw x^2+y^2-sin(uv)+2z^2-2=0[/mm]
>
> So nun habe ich die Jacobimatrix berechnet:
> [mm]J_f(a)= \pmat{ 2x & -cos(uv) & 2z & ysin(uv)v & ysin(uv)u \\ 2x & 2y & 4z & -cos(uv)v & -cos(uv)u \\ y & x & 1 & -cos(u)cos(v) & sin(u)sin(v) }[/mm]
>
> [mm]J_f(a_0)=\pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 & -\pi/2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Wie kann ich nun weiter machen?
zeige:
1. [mm] f(a_0)=0
[/mm]
und
2. der vordere 3x3 - Block in [mm] J_f(a_0) [/mm] ist invertierbar.
Nach dem Satz über implizit def. Funktionen sind die Werte von x,y,z lokal um $ [mm] a_0=(u_0,v_0,x_0,y_0,z_0)=(\pi/2,0,1,1,0) \in \IR^5 [/mm] $ als Funktion von u und v eindeutig bestimmt.
FRED
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Hallo fred
Vielen Dank für deine Antwort.
Wenn ich 1 und 2 gezeigt habe, ist es dann so, dass dann eine Funktion g(u,v) existiert?
Denn irgendwie verwirrt mich auch das x im zweiten Teil der Aufgabe, wo steht: "...und berechne [mm] \bruch{\partial x}{\partial u} [/mm] und [mm] \bruch{\partial x}{\partial v} [/mm]
Das x wäre also hier einfach meine Funktion g, welche ja existiert, wegen dem Satz der impliziten Funktionen, verstehe ich das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
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> Vielen Dank für deine Antwort.
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> Wenn ich 1 und 2 gezeigt habe, ist es dann so, dass dann
> eine Funktion g(u,v) existiert?
Nein.
Wenn Du 1. und 2. gezeigt hast, sagt der Satz über implizit def. Funktionen:
es gibt eine Umgebung U [mm] \subset \IR^2 [/mm] von [mm] \xi_0:=(\bruch{\pi}{2},0) [/mm] und es gibt stetig differenzierbare Funktionen x,y,z:U [mm] \to \IR [/mm] mit:
[mm] x(\xi_0)=1, y(\xi_0)=1 [/mm] , [mm] z(\xi_0)=0
[/mm]
und
f(x(u,v),y(u,v),z(u,v),u,v)=0 für alle (u,v) [mm] \in [/mm] U.
Aus der letzte Gleichung kannst Du dan auch die Ableitungen
$ [mm] \bruch{\partial x}{\partial u}(\pi/2,0) [/mm] $ und $ [mm] \bruch{\partial x}{\partial v}(\pi/2,0) [/mm] $ berechnen
FRED
> Denn irgendwie verwirrt mich auch das x im zweiten Teil der
> Aufgabe, wo steht: "...und berechne [mm]\bruch{\partial x}{\partial u}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial x}{\partial v}[/mm]
> Das x wäre also hier einfach meine Funktion g, welche ja
> existiert, wegen dem Satz der impliziten Funktionen,
> verstehe ich das richtig?
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Hallo fred
Nochmals vielen Dank für deine Antwort.
Leider komme ich immer noch nicht drauf, wie ich die partielle Ableitung von x nach u und von x nach v bilden kann. Kannst du mir nochmals helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 07.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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