Implizite Funktin im R^3 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Fr 17.07.2009 | | Autor: | McArthur |
| Aufgabe | | Man zeige, dass sich in der Gleichung $xy + z + [mm] 3xz^5 [/mm] = 4$, $z$ in der Nähe von $p = (1,0,1)$ als Funktion von $(x,y)$ schreiben lässt. Man bestimme [mm] $\frac{\partial z}{\partial x} [/mm] (1,0)$ und [mm] $\frac{\partial z}{\partial y} [/mm] (1,0)$. |
Hallo,
vielleicht kann mir jemand sagen, ob meine Überlegungen zu oben genannter Aufgabe richtig sind:
zuerst habe ich mir überlegt:
$F: U [mm] \subset \IR^3 [/mm] = [mm] \IR^2 \times \IR; [/mm] (x,z) [mm] \mapsto [/mm] xy + z + [mm] 3xz^5$
[/mm]
[mm] $F_x [/mm] = [mm] (\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2})$ [/mm] und [mm] $F_z [/mm] = [mm] (\frac{\partial F}{\partial z})$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow F_x [/mm] = [mm] (y+3z^5, [/mm] x) , [mm] F_z [/mm] = [mm] (1+15z^4)$.
[/mm]
Dann habe ich überprüft: [mm] $det(F_z)(1,0,1) [/mm] = 16 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow$ [/mm] es existiert eine Umgebung V von p, so dass $Q = V [mm] \cap [/mm] M$ ein Graph [mm] $\psi$ [/mm] ist, wobei $M = {(x,z) [mm] \in \IR^2 \times \IR$ [/mm] mit $xy + z + [mm] 3xz^5 [/mm] = 4 }$.
Dann wäre für mich:
[mm] $\frac{\partial z}{\partial x} [/mm] (1,0) = 0 + [mm] 3(\psi(1,0))^5$ [/mm] und
[mm] $\frac{\partial z}{\partial y} [/mm] (1,0) = 1$
Ist das so richtig oder werfe ich etwas durcheinander? Wie lässt [mm] sich$\psi$ [/mm] bestimmen?
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo McArthur,
> Man zeige, dass sich in der Gleichung [mm]xy + z + 3xz^5 = 4[/mm], [mm]z[/mm]
> in der Nähe von [mm]p = (1,0,1)[/mm] als Funktion von [mm](x,y)[/mm]
> schreiben lässt. Man bestimme [mm]\frac{\partial z}{\partial x} (1,0)[/mm]
> und [mm]\frac{\partial z}{\partial y} (1,0)[/mm].
> Hallo,
>
> vielleicht kann mir jemand sagen, ob meine Überlegungen zu
> oben genannter Aufgabe richtig sind:
>
> zuerst habe ich mir überlegt:
> [mm]F: U \subset \IR^3 = \IR^2 \times \IR; (x,z) \mapsto xy + z + 3xz^5[/mm]
>
> [mm]F_x = (\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2})[/mm]
> und [mm]F_z = (\frac{\partial F}{\partial z})[/mm].
> [mm]\Rightarrow F_x = (y+3z^5, x) , F_z = (1+15z^4)[/mm].
Hier ist doch [mm]F_{z}=1+15*\red{x}*z^{4}[/mm].
>
> Dann habe ich überprüft: [mm]det(F_z)(1,0,1) = 16 \not= 0 \Rightarrow[/mm]
> es existiert eine Umgebung V von p, so dass [mm]Q = V \cap M[/mm]
> ein Graph [mm]\psi[/mm] ist, wobei [mm]M = {(x,z) \in \IR^2 \times \IR[/mm]
> mit [mm]xy + z + 3xz^5 = 4 }[/mm].
>
> Dann wäre für mich:
> [mm]\frac{\partial z}{\partial x} (1,0) = 0 + 3(\psi(1,0))^5[/mm]
> und
> [mm]\frac{\partial z}{\partial y} (1,0) = 1[/mm]
Diese Ableitungen mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Ist das so richtig oder werfe ich etwas durcheinander? Wie
> lässt sich[mm]\psi[/mm] bestimmen?
>
> Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Fr 17.07.2009 | | Autor: | McArthur |
Ja, da hab ich wohl das x übersehen: $ [mm] F_{z}=1+15\cdot{}{x}\cdot{}z^{4} [/mm] $.
Wo ist an den Ableitungen
> > [mm]\frac{\partial z}{\partial x} (1,0) = 0 + 3(\psi(1,0))^5[/mm]
> > und
> > [mm]\frac{\partial z}{\partial y} (1,0) = 1[/mm]
der Fehler und sind meine Überlegungen sonst richtig?
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Hallo McArthur,
> Ja, da hab ich wohl das x übersehen:
> [mm]F_{z}=1+15\cdot{}{x}\cdot{}z^{4} [/mm].
>
> Wo ist an den Ableitungen
>
> > > [mm]\frac{\partial z}{\partial x} (0) = 0 + 3(\psi(1,0))^5[/mm]
> > > und
> > > [mm]\frac{\partial z}{\partial y} (1,0) = 1[/mm]
>
> der Fehler und sind meine Überlegungen sonst richtig?
Der Fehler ist der, daß diese Werte noch mit
dem Faktor [mm]-\bruch{1}{F_{z}\left(1,0,1\right)}[/mm] zu multiplizieren sind.
Das kannst Du auch nachrechnen, wenn Du
[mm]F\left( \ x,y,z\left(x,y\right) \ \right)=0[/mm]
nach x bzw. y differenzierst.
Sonst ist alles ok.
Gruß
MathePower
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