Implizit definierte Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:47 So 31.05.2009 | | Autor: | Rainingman |
| Aufgabe 1 | | Skizzieren Sie die Menge $ [mm] M:=\{ \vektor{x\\y} \in \IR^2 | (y-x^2)(y-x-2)=0\} [/mm] $ und stellen Sie anhand der Skizze fest zu welchen Punkten (x,y)eM Umgebungen existieren, in denen sich die Gleichung [mm] (y-x^2)(y-x-2)=0 [/mm] eindeutig nach x bzw. nach y auflösen lässt. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie mithilfe des Satzes über implizite Funktionen, dass sich die Gleichung [mm] (y-x^2)(y-x-2)=0 [/mm] in einer Umgebung (1/2,1/4) eindeutig nach x und nach y auflösen lässt. |
Grüße an alle Forenteilnehmer!
Ich habe hier schon meine Probleme bei a). Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen.
Ich erhalte hier also:
[mm] y=x^2 [/mm] oder y=x+2. Somit habe ich als Skizze einmal die Parabel und eine Gerade um "zwei nach oben verschoben".
Woran erkenne ich nun an der Skizze in welchen Punkten Umgebungen existieren so dass man die Gleichung eindeutig nach x bzw. y auflösen kann.
Bei b) habe ich nun im Skript eine Methode mit Hilfe des "Satzes über implizit definierte Funktionen". Hier errechne ich als ersten Schritt eine stetig diff.bare Ableitung mit
[mm] \pmat{ -2x & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Bei einer Auflösung nach x betrachte ich nun [mm] \pmat{ 1 \\ 1 } [/mm] wo die Determinante nun aber nicht ungleich 0 ist! Was nun?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo rainingman,
diese Aufgabe hatten wir hier gerade vor ein paar
Tagen. Schau doch bitte zuerst einmal da nach, ob
du wenigstens teilweise Antworten auf deine Fragen
erhältst.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 So 31.05.2009 | | Autor: | Rainingman |
Ich habe leider dennoch weitere Frage hierzu. Danke für den Link!
Hier habe ich nun eine Menge die aus einer Parabel und einer Geraden besteht.
Die Schnittpunkte dieser beiden Teilgraphen zeigen mir also die Punkte x und y indem sich die Gleichung eindeutig nach x bzw. y auflösen lässt.
Das wären also [mm] x_1 [/mm] = 2 , [mm] x_2 [/mm] = -1 und [mm] y_1 [/mm] = 4 und [mm] y_2 [/mm] = 1.
Nun soll ich in b) also mit Hilfe des Satzes über implizit definierte Funktionen zeigen das sich die Gleichung in Umgebung von (1/2,1/4) eindeutig nach x und nach y auflösen lässt.
Hier komme ich dennoch nicht weiter. Ich hänge immer noch an der Stelle in meiner Frage fest. Vielen Dank für weitere Tipps!
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> Ich habe leider dennoch weitere Frage
> hierzu. Danke für den Link!
> Hier habe ich nun eine Menge die aus einer Parabel und
> einer Geraden besteht.
> Die Schnittpunkte dieser beiden Teilgraphen zeigen mir also
> die Punkte x und y indem sich die Gleichung eindeutig nach
> x bzw. y auflösen lässt.
> Das wären also [mm]x_1[/mm] = 2 , [mm]x_2[/mm] = -1 und [mm]y_1[/mm] = 4 und [mm]y_2[/mm] = 1.
> Nun soll ich in b) also mit Hilfe des Satzes über implizit
> definierte Funktionen zeigen das sich die Gleichung in
> Umgebung von (1/2,1/4) eindeutig nach x und nach y auflösen
> lässt.
>
> Hier komme ich dennoch nicht weiter. Ich hänge immer noch
> an der Stelle in meiner Frage fest. Vielen Dank für weitere
> Tipps!
Hi Ricky,
Ich weiss nicht genau, was dein "Satz über implizit
definierte Funktionen" sagt, aber ich mache mir die
Situation mit einer Skizze deutlich. Der Punkt
[mm] P_o\,(0.5/0.25) [/mm] ist ein Punkt von M, auf der Parabel
liegend, fernab von der Geraden und deren Schnitt-
punkten mit der Parabel. Die Steigung der Parabel
im Punkt [mm] P_o [/mm] ist gleich 1, also insbesondere ungleich 0.
Somit existiert eine Umgebung von [mm] P_o [/mm] (man kann
dazu z.B. die kreisförmige Umgebung mit Radius 0.5
und Zentrum [mm] P_o [/mm] nehmen), innerhalb welcher die Funk-
tion streng monoton steigend und deshalb bijektiv ist.
LG Al-Chw.
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Der Satz über implizit definierte Funktionen besagt (und den sollen wir ja verwenden):
Sei M eine nichtleere, offene Teilmenge von [mm] \IR^{m+n} [/mm] und sei F [mm] =^t(F1,...,F_n) [/mm] : M [mm] \to \IR^n, [/mm] z = [mm] \vektor{x \\ y} \to [/mm] F(z) = F(x,y) = [mm] ^t(F_1(z),...,F_n(z)) [/mm] stetig differenzierbar. Es gebe einen Punkt c = [mm] \vektor{a \\ b} \in [/mm] M mit a [mm] \in \IR^m [/mm] und b \ in [mm] \IR^n [/mm] sodass
F(c) = 0 und det F'(c) [mm] \not= [/mm] 0 ist. Für z [mm] \in [/mm] M sei dabei F'_y(z) die Untermatrix von F'(z), die die partiellen Ableitungen nach den [mm] y_1,....y_n [/mm] enthält, also
F'_y(z) = [mm] \pmat{ D_m_+_1 F_1(z) & ... & D_m_+_n F_1(z) \\ ... & &... \\ D_m_+_1 F_n(z) & ... & D_m_+_n F_n(z)}
[/mm]
Dann läßt sich die Gleichung F(x,y) = 0 in einer geeigneten Umgebung von c eindeutig nach y auflösen.
Bei mir wäre nun c= (0.5,0.25), F(x,y) = [mm] \pmat{ -x^2 + y \\ -x + y - 2 }
[/mm]
F(c) = 0 und die Funktion ist stetig diff.bar mit
F'(x,y) = [mm] \pmat{ -2x & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Damit wäre F'_y(x,y) = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Fehlt noch der Punkt mit der Determinante.... wie weiter? Vielen Dank nochmals
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Hallo Ricky,
ich habe mir den Satz nun auch mal angeschaut, in der
Form, wie er bei ![[]](/images/popup.gif) wikipedia zu finden ist. Dabei war mir
aber zuerst nicht klar, welche Werte die Dimensionen
m und n im vorliegenden Beispiel haben. Es ist aber offen-
bar ganz einfach, nämlich m=n=1. Das heisst, dass die
Matrix nur aus einem einzigen Element besteht, nämlich
der partiellen Ableitung von [mm] F(x,y)=(y-x^2)*(y-x-2) [/mm] nach
y, also
[mm] $\bruch{\partial}{\partial y}((y-x^2)*(y-x-2))\ [/mm] =\ [mm] 1*(y-x-2)+(y-x^2)*1\ [/mm] =\ [mm] -x^2-x+2\,y-2$
[/mm]
Im zu untersuchenden Punkt $\ [mm] P_0(x_0=0.5\,/\,y_0=0.25)$ [/mm] gilt
[mm] F(x_0,y_0)=0 [/mm] , und die Matrix bzw. deren Determinante
hat den Wert $\ -2.25$ , also nicht Null - und ist damit
invertierbar.
Man kann sich auch davon überzeugen, dass der Term
[mm] -x^2-x+2\,y-2 [/mm] in den beiden Schnittpunkten von Gerade
und Parabel verschwindet und dass somit der Satz in
diesen Fällen keine Aussage liefert.
LG Al-Chwarizmi
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