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Immersion und Einbettung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Sa 18.10.2008
Autor: CON40

Aufgabe
Sei [mm] f: \left( \bruch{pi}{2} , \bruch{5pi}{2}\right) \to \IR^2 [/mm] , f(t)= (cost,sin2t). Zeige:
a) f ist eine injektive Immersion
b) f ist keine Einbettung

Hallo, bei der Aufgabe a habe ich zunächst gesagt ,dass f glatt ist, da cos und sin unendlich oft diffbar sind. Jetzt muss ich noch zeigen das f injektiv ist und dass der Rang der Jakobi Matrix 1 ist. Mit der Jakobi Matrix sollte klappen,bei dem Injektivitätsbeweis tue ich mich schwer,ich hab zwar schon eine Wertetabelle aufgeschrieben,aber ich komm einfach nicht weiter,wieso ist f injektiv??

Bei Aufgabe b ist lediglich zu zeigen, das die Umkehrfkt nicht stetig ist,richtig?!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Es wäre schön wenn mir jemand helfen kann.

        
Bezug
Immersion und Einbettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Sa 18.10.2008
Autor: Christian

Hallo!

> Sei [mm]f: \left( \bruch{pi}{2} , \bruch{5pi}{2}\right) \to \IR^2[/mm]
> , f(t)= (cost,sin2t). Zeige:
>  a) f ist eine injektive Immersion
>  b) f ist keine Einbettung
>  Hallo, bei der Aufgabe a habe ich zunächst gesagt ,dass f
> glatt ist, da cos und sin unendlich oft diffbar sind. Jetzt
> muss ich noch zeigen das f injektiv ist und dass der Rang
> der Jakobi Matrix 1 ist.

Alles völlig richtig.

> klappen,bei dem Injektivitätsbeweis tue ich mich schwer,ich
> hab zwar schon eine Wertetabelle aufgeschrieben,aber ich
> komm einfach nicht weiter,wieso ist f injektiv??

f injektiv bedeutet ja, für [mm] $x,y\in \left( \bruch{\pi}{2} , \bruch{5\pi}{2}\right)$ [/mm] folgt aus $f(x)=f(y)$, daß $x=y$ sein muß, oder andersherum, ist [mm] $x\not=y$, [/mm] so ist auch [mm] $f(x)\not=f(y)$. [/mm] Du mußt also ansetzen
[mm] $\cos [/mm] x = [mm] \cos [/mm] y$ und [mm] $\sin(2x)=\sin(2y)$. [/mm] Nennen wir [mm] $z:=\cos [/mm] x$, so folgt, daß [mm] $y\in\{2\pi n\pm\arccos(z)\mid n\in\IZ\}$ [/mm] sein muß, andererseits muß ja auch [mm] $y\in\left( \bruch{\pi}{2} , \bruch{5\pi}{2}\right)$ [/mm] sein. Letztlich gibt es also nicht viel Auswahl an Möglichkeiten für y, zusammen mit der zweiten Gleichung bekommst Du dann schon raus, daß $y=x$ sein muß.

> Bei Aufgabe b ist lediglich zu zeigen, das die Umkehrfkt
> nicht stetig ist,richtig?!

Korrekt.
Hoffe, ich konnte ein bißchen helfen,

Grüße,
Christian

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