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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Di 24.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Zusammen,
ich hab' hier folgende Aufgabe, die warscheinlich voll simpel ist, aber ich Simpel keine Lösung finde:
Zu zeigen ist
[mm] 1²+3²+5²+....+(2n-1)²=\summe_{m=1}^{n}(2m-1)²= \bruch{n(4n²-1)}{3}.
[/mm]
Ich hab das schon mit ausklammern, einsetzen, erweitern und wegen der Klammer im Zähler auch mit der Binom. Formel versucht.
Hier meine Frage: Wo kommt der Nenner her?????????????
Quasi das [mm] \bruch{1}{3}???????????
[/mm]
lg Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Herby!
Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten deine Aufgabe zu lösen:
Erstens eine (recht einfache) vollständige Inuktion und zweitens die Zurückführung auf die bekannten Summen
[mm] $\sum\limits_{m=1}^n [/mm] m = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
und
[mm] $\sum\limits_{m=1}^n m^2 [/mm] = [mm] \frac{(2n+1)n(n+1)}{6}$.
[/mm]
Man erhält dann:
[mm] $\sum\limits_{m=1}^n (2m-1)^2$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{m=1}^n (4m^2-4m+1)$
[/mm]
[mm] $=4\sum\limits_{m=1}^n m^2-4\sum\limits_{m=1}^n [/mm] m + [mm] \sum\limits_{m=1}^n [/mm] 1$
$=4 [mm] \frac{(2n+1)n(n+1)}{6} [/mm] -4 [mm] \cdot \frac{n(n+1)}{2} [/mm] + n$
[mm] $=\frac{(8n+4)n(n+1) -12n(n+1) +6n}{6}$
[/mm]
$= [mm] \frac{(8n-8)n(n+1)+6n}{6}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n \cdot ((4n-4)(n+1)+3)}{3}$
[/mm]
$= [mm] \frac{n \cdot (4n^2-1)}{3}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Di 24.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Julius,
ich krieg da was nicht geregelt!
>
> Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten deine Aufgabe zu
> lösen:
>
> Erstens eine (recht einfache) vollständige Inuktion und
fein, fein, wie denn???
> zweitens die Zurückführung auf die bekannten Summen
>
> [mm]\sum\limits_{m=1}^n m = \frac{n(n+1)}{2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\sum\limits_{m=1}^n m^2 = \frac{(2n+1)n(n+1)}{6}[/mm].
>
Wie komme ich da drauf??? Was das für Summenformeln sind weiß ich, aber woher weiß ich, oder woran erkenne ich, dass die in der Aufgabe enthalten sind (geschultes Auge vielleicht?)?
>
> [mm]=\frac{(8n+4)n(n+1) -12n(n+1) +6n}{6}[/mm]
>
> [mm]= \frac{(8n-8)n(n+1)+6n}{6}[/mm]
>
> [mm]= \frac{n \cdot ((4n-4)(n+1)+3)}{3}[/mm]
Also hier komm ich nicht mit!
Ich berücksichtige jetzt nur die Klammer; also die äußere (A.d.R.)
Wenn ich aus der ersten Klammer die 4 herausziehe, komme ich zu:
4(n-1)(n+1)+3 [mm] \Rightarrow [/mm] 4(n²-1)+3. Wo ist bei dir die +3 geblieben?
Anders, wenn ich noch eine Klammer um die zweite Klammer setze und dementsprechend die +3 hineinziehe, komme ich zu:
(4n-4)(n+4), das geht auch nicht.
>
> [mm]= \frac{n \cdot (4n^2-1)}{3}[/mm].
>
> Viele Grüße
> Julius
lg Herby
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Hallo Herby!
Vollständige Induktion an sich ist doch klar, oder?
[mm] $\summe_{m=1}^{n}(2m-1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*\left(4n^2-1\right)}{3}$
[/mm]
Induktionsbeginn
[mm] $\summe_{m=1}^{1}(2m-1)^2 [/mm] \ = \ [mm] (2*1-1)^2 [/mm] \ = \ 1$
[mm] $\bruch{1*\left(4*1^2-1\right)}{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*3}{3} [/mm] \ = \ 1$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Induktionsvoraussetzung
[mm] $\summe_{m=1}^{n}(2m-1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*\left(4n^2-1\right)}{3}$
[/mm]
Induktionsbehauptung
[mm] $\summe_{m=1}^{n+1}(2m-1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*\left[4*(n+1)^2-1\right]}{3}$
[/mm]
Induktionsschritt
[mm] $\summe_{m=1}^{n+1}(2m-1)^2$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \summe_{m=1}^{n}(2m-1)^2 [/mm] + [mm] \summe_{m=n+1}^{n+1}(2m-1)^2$
[/mm]
$ \ = \ [mm] \summe_{m=1}^{n}(2m-1)^2 [/mm] + [mm] [2*(n+1)-1]^2$
[/mm]
Anwendung Induktionsvoraussetzung
$ \ = \ [mm] \bruch{n*\left(4n^2-1\right)}{3} [/mm] + [mm] [2*(n+1)-1]^2$
[/mm]
Diesen Ausdruck mußt Du nun solange umformen/zusammenfassen, bis Du die Induktionsbehauptung erhältst.
Versuche das doch mal ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Di 24.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Roadrunner,
mach ich, aber nicht mehr heute!
.... weil ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") .....
zwar nicht gleich, aber bald, *ggg* - Fahrgemeinschaft.
Außerdem häng' ich mich wie gesagt gerade an dem anderen auf!
liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Roadrunner,
>
> Vollständige Induktion an sich ist doch klar, oder?
...... entfernt!!!!
>
> [mm]\ = \ \summe_{m=1}^{n}(2m-1)^2 + [2*(n+1)-1]^2[/mm]
>
> Anwendung Induktionsvoraussetzung
> [mm]\ = \ \bruch{n*\left(4n^2-1\right)}{3} + [2*(n+1)-1]^2[/mm]
>
>
> Diesen Ausdruck mußt Du nun solange
> umformen/zusammenfassen, bis Du die Induktionsbehauptung
> erhältst.
>
> Versuche das doch mal ...
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
= [mm] \bruch{1}{3}*[n(4n²-1)+3(2n+1)²]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*[n(4n²-1)+3(4n²+4n+1)]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*[n(4n²-1)+12n²+12n+3]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*[4n³+12n²+11n+3]
[/mm]
Wegen der Behauptung: Abspalten von (n+1)
[mm] =\bruch{1}{3}*[(n+1)*(4n²+8n+3)]
[/mm]
Null addieren
[mm] =\bruch{1}{3}*[(n+1)*((4n²+8n+4)-1)]
[/mm]
Vier ausklammern und Binom
[mm] =\bruch{(n+1)*(4(n+1)²-1}{3}
[/mm]
fertisch!!!
Aber ich hab da gestern was über Indexverschiebung gelesen, was muss ich dabei beachten und bei welchem Prinzip kommt das vor??
Vielleicht wären die Fragen andersherum ![[turn]](/images/smileys/turn.gif "[turn]") gestellt, geschickter gewesen.
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Herby!
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 11 in der skripinternen Zählung den Induktionsbeweis zum Binomischen Lehrsatz. Dort wird von Zeile 4 auf Zeile 5 im Beweis eine Indexverschiebung durchgeführt. Versuche die mal nachzuvollziehen. Man versteht darunter so etwas:
[mm] $\sum\limits_{n=k}^{m} a_n [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=k-p}^{m-p}a_{n+p} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=k+p}^{m+p} a_{n-p}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Julius,
mit was für einem Programm wird die Datei geöffnet??
lg
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Mit gsview. Kann sein, dass du das nicht hast (Hast du kein LaTex? Solltest du dir unbedingt zulegen! Schau mal unter im Dante-Portal nach und lade dir alles runter; du brauchst es früher oder später eh.)
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo nochmal,
> Zeile 4 auf Zeile 5 im Beweis eine Indexverschiebung
> durchgeführt. Versuche die mal nachzuvollziehen. Man
> versteht darunter so etwas:
>
> [mm]\sum\limits_{n=k}^{m} a_n = \sum\limits_{n=k-p}^{m-p}a_{n+p} = \sum\limits_{n=k+p}^{m+p} a_{n-p}[/mm].
- Ist es egal, was für einen Wert p hat (natürlich p<k)??
- Wann wird eine Indexverschiebung >1 benutzt ???
Viele Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Herby!
> - Ist es egal, was für einen Wert p hat (natürlich p<k)??
Ja.
> - Wann wird eine Indexverschiebung >1 benutzt ???
Die Frage kann man leider so allgemein nicht beantworten. Du siehst im jeweiligen Beweis ja immer sofort, was du braucht: eine Verschiebung nach oben oder nach unten. Hier helfen wirklich keine Patentrezepte, sondern ein gezielter Blick. Hört sich blöd an, die Antwort, ist aber die einzig sinnvolle. 
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Herby |
Danke Julius,
dann werde ich meine Blicke mal schweifen lassen!
lg
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 24.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Herby!
> Wie komme ich da drauf??? Was das für Summenformeln sind
> weiß ich, aber woher weiß ich, oder woran erkenne ich, dass
> die in der Aufgabe enthalten sind (geschultes Auge
> vielleicht?)?
Naja, wenn in den Summanden steht:
[mm] $(2n-1)^2$,
[/mm]
ich mich an die Binomischen Formeln erinnere und weiß, dass ich die Summen auseinander ziehen werde, dann ist es klar, dass man die beiden Formeln benötigt.
> > [mm]= \frac{n \cdot ((4n-4)(n+1)+3)}{3}[/mm]
>
> Also hier komm ich nicht mit!
>
> Ich berücksichtige jetzt nur die Klammer; also die äußere
> (A.d.R.)
>
> Wenn ich aus der ersten Klammer die 4 herausziehe, komme
> ich zu:
>
> 4(n-1)(n+1)+3 [mm]\Rightarrow[/mm] 4(n²-1)+3. Wo ist bei dir die +3
> geblieben?
Indem du einen Schritt weiterrechnest:
[mm] $4(n^2-1)+3=4n^2-4+3=4n^2-1$. [/mm] 
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 24.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hi,
dann kann ich ja jetzt doch vielleicht noch die Induktion machen!
Na, so was ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") !
Danke
und liebe Grüße
Herby
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
