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| Aufgabe | Nutzen Sie die Tatsache, dass [mm] Re[e^{i*n*\theta}]=cos(n*\theta) [/mm] um folgende Identitaet herzuleiten:
[mm] 1+cos(\theta)+\bruch{cos(2\theta)}{2!}+\bruch{cos(3\theta)}{3!}+\bruch{cos(4\theta)}{4!}+...=e^{cos(\theta)}*cos(sin(\theta)) [/mm] |
Hallo mal wieder,
wahrscheinlich ueberseh ich wieder etwas bei der Aufgabe...
Ich hatte im prinzip zwei Ansaetze. einmal von "links nach rechts" (I) und einmal von "rechts nach links" (II).
(II) Ich nutze also die Reihenentwicklung von [mm] e^x [/mm] usw . Dabei benutze ich aber nicht, den in der Aufgabe vorgegebenen Realteil, ausserdem ist es unendlich viel schreiberei bei der ich nach 3 versuchen nicht zum richtigen ergebnis gekommen bin.
daraus habe ich nun messerscharf (und wahrscheinlich falsch) gschlussfolgert, dass es wohl (I) sein soll und es promt versucht:
(I) Ich kann also jedes [mm] cos(n*\theta) [/mm] durch [mm] Re[e^{i*n*\theta}] [/mm] ersetzen, das dann wiederrum umgeschrieben werden kann in [mm] Re[cos(n\theta)+isin(n*\theta)]. [/mm] Das ist dann der Punkt wo ich mal wieder nicht weiterkomme...
Vielleicht erbarmt sich nochmal jemand...
Danke!
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Hallo exeqter,
vielleicht übersiehst Du ja nur, dass [mm] e^{i*n*\theta} [/mm] auch einen Imaginärteil hat?
Hier geht es darum, dass Du z.B. [mm] \cos{(4\theta)} [/mm] durch [mm] e^{i4\theta} [/mm] ersetzt, die Reihe anders zusammenfasst und schließlich nur den Realteil betrachtest.
Viel Erfolg
reverend
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hey,
danke fuer deine antwort, aber ich komme trotzdem noch nicht weiter. Ich sehe einfach nicht, wo ich etwas derart umschreiben kann um dise andere reihe zu erhalten.
ich komme auf [mm] 1+cos(\theta)+\bruch{cos(\theta)^2}{2!}+\bruch{cos(\theta)^3}{3!}+...-\bruch{3cos(\theta)sin(\theta)^2}{3!}+Imaginaerteil
[/mm]
der Imaginaerteil ist hier: [mm] i*sin(\theta)+i*sin(\theta)cos(\theta)+3*i*cos(\theta)^2*sin(\theta)-i*sin(\theta)^3
[/mm]
Das habe ich bei umschreiben bis zur dritten Potenz der gegebenen reihe erhalten. Daraus kann ich erkennen dass es [mm] e^{cos(\theta)} [/mm] ergibt, aber mehr auch noch nicht.
Was fehlt ?
EDIT: Ausser klaren Gedanken hat gar nix gefehlt, habe es hinbekommen!!
Danke trotzdem!!
lg
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