Idempotente Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Di 04.02.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Beweisen Sie das M idempotent ist.
M= E - [mm] C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T [/mm]
dabei sind C und [mm] C^t [/mm] nicht quadratische Matrizen. |
Hallo,
man könnte das ja einfach so ausrechnen:
M= E - [mm] C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T [/mm]
= E - [mm] C*C^t*C^-1*(C^T)^-1 [/mm] = E - [mm] E^2 [/mm] = E
Eine Nullmatrix ist immer idempotent.
In der Aufgabe stand auch: Rechnen Sie zunächst [mm] M^2 [/mm] für ihre Schlussfolgerung aus.
Könnte man auch irgendwie hiermit rechnen:
[mm] M^2 [/mm] = [mm] E^2 [/mm] - 2* [mm] C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T [/mm] + [mm] (C*(C*C^t)^-1 [/mm] * [mm] C^T)^2
[/mm]
LG
Mathics
|
|
| |
|
Hallo,
> Beweisen Sie das M idempotent ist.
>
> M= E - [mm]C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T[/mm]
>
> dabei sind C und [mm]C^t[/mm] nicht quadratische Matrizen.
> Hallo,
>
> man könnte das ja einfach so ausrechnen:
>
> M= E - [mm]C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T[/mm]
>
> = E - [mm]C*C^t*C^-1*(C^T)^-1[/mm] = E - [mm]E^2[/mm] = E
Warum sollte das E ergeben?
>
> Eine Nullmatrix ist immer idempotent.
>
> In der Aufgabe stand auch: Rechnen Sie zunächst [mm]M^2[/mm] für
> ihre Schlussfolgerung aus.
>
> Könnte man auch irgendwie hiermit rechnen:
>
> [mm]M^2[/mm] = [mm]E^2[/mm] - 2* [mm]C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T[/mm] + [mm](C*(C*C^t)^-1[/mm] * [mm]C^T)^2[/mm]
Ja, das heißt ja gerade Idempotenz:
[mm] M^2=M
[/mm]
Das ist also nachzuweisen.
>
> LG
> Mathics
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Di 04.02.2014 | | Autor: | Mathics |
>
> Warum sollte das E ergeben?
Weil man doch die Inversen hat [mm] C*C^-1*C^t*(C^t)^-1 [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> >
> > Warum sollte das E ergeben?
>
> Weil man doch die Inversen hat [mm]C*C^-1*C^t*(C^t)^-1[/mm] ?
Du hattest doch
$ [mm] C\cdot{}(C\cdot{}C^T)^{-1} [/mm] * [mm] C^T [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Di 04.02.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo nochmal,
ich will noch einmal nachfragen:
was bedeutet das kleine t und was das große T? Oder sollen beide die transponierte Matrix bedeuten?
Ich frage denn:
Nehmen wir mal an, dass C eine [mm] 3\times4-Matrix [/mm] ist.
Dann haben wir für die Dimensionen:
[mm] C\cdot{}(C\cdot{}C^t)^{-1}C^T\Rightarrow 3\times4*(3\times4*4\times3)^{-1}*4\times3=3\times4*3\times3*4\times3
[/mm]
Das Produkt ist nicht ausführbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Di 04.02.2014 | | Autor: | Mathics |
Ich entschuldige bitte für den Tippfehler.
Es muss: M = E - [mm] C*(C^T-C)^-1*C^T [/mm] heißen und das T bedeutet transponiert.
Kann man das über
[mm] M^2 [/mm] = [mm] E^2 [/mm] - [mm] 2*C*(C^T-C)^-1*C^T +(C*(C^T-C)^-1*C^T)^2 [/mm] berechnen?
LG
Mathics?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:10 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich entschuldige bitte für den Tippfehler.
>
> Es muss: M = E - [mm]C*(C^T-C)^-1*C^T[/mm] heißen und das T
> bedeutet transponiert.
Oben schreibst Du:
"C und $ [mm] C^t [/mm] $ nicht quadratische Matrizen".
Dann ist aber die Differenz [mm] C^T-C [/mm] nicht definiert !!
FRED
>
>
> Kann man das über
>
> [mm]M^2[/mm] = [mm]E^2[/mm] - [mm]2*C*(C^T-C)^-1*C^T +(C*(C^T-C)^-1*C^T)^2[/mm]
> berechnen?
>
>
> LG
> Mathics?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Di 04.02.2014 | | Autor: | Mathics |
Was ist denn heute los mit mir?
Also richtig muss es so heißen:
M = E - [mm] C*(C^T*C)^-1*C^T
[/mm]
Ich würde das gerne über diese Form berechnen, aber weiß nicht wie man weitermachen soll:
[mm] M^2 [/mm] = [mm] E^2 [/mm] - [mm] 2*C*(C^T*C)^-1*C^T +(C*(C^T*C)^-1*C^T)^2 [/mm]
Tut mir leid für die Tippfehler
LG
Mathics
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Di 04.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Was ist denn heute los mit mir?
>
> Also richtig muss es so heißen:
>
> M = E - [mm]C*(C^T*C)^-1*C^T[/mm]
>
> Ich würde das gerne über diese Form berechnen, aber weiß
> nicht wie man weitermachen soll:
>
> [mm]M^2[/mm] = [mm]E^2[/mm] - [mm]2*C*(C^T*C)^-1*C^T +(C*(C^T*C)^-1*C^T)^2[/mm]
>
>
das ist auch völlig in Ordnung.
Berechne zuerst das Quadrat der Matrix [mm] B=C*(C^T*C)^{-1}*C^T [/mm] am Ende, indem du die beiden Faktoren hintereinanderschreibst, das Assoziativgesetz anwendest und geeignet zusammenfasst.
Du stellst fest, dass [mm] B^2=B [/mm] ist und somit wird [mm] M^2=E^2-2B+B^2=E-2B+B=E-B=M
[/mm]
In der Aufgabenstellung sollte noch stehen, dass M nur dann idempotent ist, wenn M überhaupt definiert ist, d.h. wenn [mm] (C^T*C)^{-1} [/mm] existiert, was nicht selbstverständlich ist.
Gruß Sax.
|
|
|
|
