Ideale von Z_n < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
moin,
Dieser Tread hier (https://matheraum.de/read?i=824553) hat mich dazu gebracht ein wenig drüber nachzudenken wie die Ideale eines Restklassenrings aussehen.
Ich bin der Meinung ich habe eine Antwort auf diese Frage gefunden, aber es wäre nett wenn mir sie jemand bestätigen könnte oder ggf. den Fehler aufzeigen.
Sei [mm] $\IZ_n$ [/mm] der Restklassenring mit n Elementen.
Dann ergibt sich die Menge aller Ideale von [mm] $\IZ_n$ [/mm] als:
[mm] $\bigcup_{\stackrel{k \in \IN}{k|n}} \{\{k,2k,\cdots,\frac{n}{k}*k\}\}$
[/mm]
Also an einem Beispiel:
Die Ideale von [mm] $\IZ_6$ [/mm] sind:
[mm] $\IZ_6$ [/mm] (k=1)
{0,2,4} (k=2)
{0,3} (k=3)
{0} (k=6)
stimmt das so weit?
Um das zu beweisen hab ich (da ich Ideale noch nicht kenne) eine Aussage von Wiki benutzt, die in etwa besagte "für kommutative Ringe ist Ideal das gleiche wie Untermodul".
Stimmt diese Aussage?
Falls nötig kann ich natürlich auch gern den ganzen Beweis posten; vor allem falls meine Menge aller Ideale falsch sein sollte.^^
thx schonmal für Antworten
lg
Schadow
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 05.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow,
> Dieser Tread hier (https://matheraum.de/read?i=824553) hat
> mich dazu gebracht ein wenig drüber nachzudenken wie die
> Ideale eines Restklassenrings aussehen.
>
> Ich bin der Meinung ich habe eine Antwort auf diese Frage
> gefunden, aber es wäre nett wenn mir sie jemand
> bestätigen könnte oder ggf. den Fehler aufzeigen.
>
> Sei [mm]\IZ_n[/mm] der Restklassenring mit n Elementen.
> Dann ergibt sich die Menge aller Ideale von [mm]\IZ_n[/mm] als:
> [mm]\bigcup_{\stackrel{k \in \IN}{k|n}} \{\{k,2k,\cdots,\frac{n}{k}*k\}\}[/mm]
>
> Also an einem Beispiel:
> Die Ideale von [mm]\IZ_6[/mm] sind:
> [mm]\IZ_6[/mm] (k=1)
> {0,2,4} (k=2)
> {0,3} (k=3)
> {0} (k=6)
>
> stimmt das so weit?
Ja, das stimmt.
> Um das zu beweisen hab ich (da ich Ideale noch nicht kenne)
> eine Aussage von Wiki benutzt, die in etwa besagte "für
> kommutative Ringe ist Ideal das gleiche wie Untermodul".
> Stimmt diese Aussage?
Ja. Die $R$-Untermoduln von $R$ sind exakt die Ideale in $R$, falls $R$ ein Ring ist. (Du brauchst nichtmals, dass der Ring kommutativ ist oder eine Eins hat.)
Bezueglich Ideale und Quotientenringe kann man uebrigens ganz allgemein die folgende Aussage beweisen (ich zitiere mal aus meiner Vorlesung  ). Wenn du sie auf die Restklassenabbildung [mm] $\pi [/mm] : R [mm] \to [/mm] R/I$ anwendest (mit [mm] $\ker \pi [/mm] = I$), so erhaelst du eine allgemeine Aussage fuer Restklassenringe.
Sei [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ ein surjektiver Homomorphismus von Ringen. Sei [mm] $\mathcal{I} [/mm] := [mm] \{ I \subseteq R \mid I \text{ Ideal mit } \ker \varphi \subseteq I \}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{J} [/mm] := [mm] \{ J \subseteq S \mid J \text{ Ideal } \}$. [/mm] Dann ist die Abbildung [mm] $\Phi [/mm] : [mm] \mathcal{I} \to \mathcal{J}$ [/mm] definiert durch [mm] $\Phi(I) [/mm] = [mm] \varphi(I) [/mm] = [mm] \{ \varphi(i) \mid i \in I \}$ [/mm] wohldefiniert, inklusionserhaltend sowie bijektiv mit Umkehrabbildung [mm] $\mathcal{J} \to \mathcal{I}$, [/mm] $J [mm] \mapsto \varphi^{-1}(J) [/mm] = [mm] \{ r \in R \mid \varphi(r) \in J \}$.
[/mm]
Weiterhin gilt fuer $I [mm] \in \mathcal{I}$:
[/mm]
(a) $I$ ist prim genau dann, wenn [mm] $\Phi(I)$ [/mm] prim ist;
(b) $I$ ist maximal genau dann, wenn [mm] $\Phi(I)$ [/mm] maximal ist;
(c) es gilt $R / I [mm] \cong [/mm] S / [mm] \Phi(I)$. [/mm] (Das ist im wesentlichen der ![[]](/images/popup.gif) dritte Isomorphiesatz, wenn du [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \pi$ [/mm] nimmst.)
Um deine Aussage oben zu bekommen, musst du das noch etwas mit Aussagen ueber Hauptideale in Hauptidealbereichen [mm] ($\IZ$ [/mm] ist so einer) kombinieren. Sei $R$ ein Hauptidealbereich und sei zu $r [mm] \in [/mm] R$ $(r)$ das von $r$ erzeugte Hauptideal, also $(r) = r R = [mm] \{ r s \mid s \in R \}$. [/mm] Dann gilt:
(a) Sind $a, b [mm] \in [/mm] R$, so gilt $(a) [mm] \subseteq [/mm] (b)$ genau dann, wenn $b [mm] \mid [/mm] a$ gilt.
(b) Es gilt $(a) = (b)$ genau dann, wenn $a$ und $b$ sich nur durch eine Einheit unterscheiden.
(Die Einheiten in [mm] $\IZ$ [/mm] sind gerade [mm] $\pm [/mm] 1$, womit (b) bedeutet: $(a) = (b)$ genau dann, falls $a = [mm] \pm [/mm] b$.)
Also haben wir:
(1) Die Ideale in [mm] $\IZ$ [/mm] sind alle von der Form $(n)$ mit $n [mm] \in \IZ$.
[/mm]
(2) Ist $n [mm] \IZ$ [/mm] ein solches Ideal, so korrespondieren die Ideale $(m)$ mit $(n) [mm] \subseteq [/mm] (m)$ gerade zu den Zahlen $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m [mm] \mid [/mm] n$.
(2) Ist $I = (n)$, so ist also [mm] $\mathcal{I} [/mm] = [mm] \{ (m) \mid m \mid n \}$.
[/mm]
(3) Damit sind die Ideale in [mm] $\IZ [/mm] / (n) = [mm] \IZ/n\IZ$ [/mm] von der Form [mm] $\pi( [/mm] (m) )$, $m [mm] \mid [/mm] n$, wobei [mm] $\pi [/mm] : [mm] \IZ \to \IZ/n\IZ$ [/mm] die Restklassenabbildung ist.
(4) Nun ist [mm] $\pi( [/mm] (m) ) = [mm] \{ \pi(m k) \mid k \in \IZ \}$ [/mm] das von [mm] $\pi(m)$ [/mm] erzeugte Ideal in [mm] $\IZ/n\IZ$, [/mm] und das ist gerade [mm] $m\IZ [/mm] / [mm] n\IZ$.
[/mm]
(5) Also ist [mm] $\mathcal{J}$, [/mm] die Menge der Ideale in [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] gerade [mm] $\{ m\IZ/n\IZ \mid m \text{ Teiler von } n \}$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
| |
|
danke felix,
Ich glaub bis ich das selbst in der Vorlesung kriege bleib ich erstmal beim Beweis über Untermoduln, aber trotzdem danke für deine Mühe.
|
|
|
|
