Ideale, Radikale von Idealen < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Mo 31.10.2016 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper.
Es seien I und J Ideale in [mm] K[X_1,...,X_n] [/mm] mit I [mm] \subset \wurel{J}. [/mm] Zeigen Sie, dass es eine natürliche Zahl m gibt, so dass [mm] I^m \subset [/mm] J gilt.
Tipp: Betrachten Sie geeignete Erzeuger von [mm] I^m, [/mm] welche Sie aus Erzeugern von I gewinnen. |
Hallo liebe Community!
Zu der Aufgabe habe ich mir folgenden Beweis überlegt:
I [mm] \subset \wurzel{J} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] I [mm] \subset [/mm] {f [mm] \in K[X_1,...,X_n] [/mm] | [mm] f^k \in [/mm] J für ein k [mm] \ge [/mm] 1}.
Seien nun [mm] f_1,...,f_r \in K[X_1,...,X_n] [/mm] mit [mm] (f_1,...,f_r)=I.
[/mm]
Dann gilt [mm] I^m=(f_1,...,f_r)^m=(f_1^m,...,f_r^m).
[/mm]
Wir zeigen nun: [mm] (f_1^m,...,f_r^m) \in [/mm] J.
Es gilt nach Voraussetzung [mm] (f_1,...,f_r)=I \in \wurzel{J}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_1^{k_1},...,f_r^{k_r} \in [/mm] J mit [mm] k_1,...,k_r \ge [/mm] 1.
Sei nun k:= max [mm] {k_1,...,k_r}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_1^k,...,f_r^k \in [/mm] J
[mm] \Rightarrow (f_1^k,...,f_r^k) \in [/mm] J , da J ein Ideal ist
[mm] \Rightarrow I^k \subset [/mm] J
Wenn wir nun m := k setzen folgt die Behauptung.
Allerdings habe ich in meinem Beweis nicht benutzt, dass K algebraisch abgeschlossen ist und weiß deshalb nicht ob mein Beweis so stimmt und würde mich über eine Korrektur freuen.
Liebe Grüße, MinLi
|
|
| |
|
Noch einmal Hallo!
Du hast Recht, mit deiner Aussage, dass die algebraische Abgeschlossenheit wiederum nicht eingeht. Tatsächlich geht nur ein, dass [mm] $K[X_1,\dots,X_n]$ [/mm] noethersch ist. Und Du beginnst auch ganz richtig damit, zu verwenden, dass $I$ endlich erzeugt ist. Allerdings machst Du einen Fehler, denn es gilt nicht [mm] $(f_1,\dots,f_r)^m=(f_1^m,\dots,f_r^m)$ [/mm] (findest Du ein Gegenbeispiel?). Tatsächlich empfehle ich, dass wir allgemein zeigen:
Ist in einem kommutativen Ring [mm] $I\trianglelefteq [/mm] R$ endlich erzeugt und [mm] $J\trianglelefteq [/mm] R$ beliebig, so gilt [mm] $I\le\sqrt{J}\implies\exists m\ge [/mm] 1: [mm] I^m\le [/mm] J$.
Der Beweis folgt mittels Induktion nach der Anzahl der Erzeuger leicht aus dem nachfolgenden Lemma, das ohne jegliche Voraussetzungen Gültigkeit hat, und das Du Dir sicher leicht klarmachen kannst:
Sind [mm] $I_1,I_2,J\trianglelefteq [/mm] R$ mit [mm] $I_1^{m_1}\le [/mm] J$ und [mm] $I_2^{m_2}\le [/mm] J$, so gilt [mm] $(I_1+I_2)^{m_1+m_2-1}\le [/mm] J$.
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 01.11.2016 | | Autor: | MinLi |
> Noch einmal Hallo!
>
> Du hast Recht, mit deiner Aussage, dass die algebraische
> Abgeschlossenheit wiederum nicht eingeht. Tatsächlich geht
> nur ein, dass [mm]K[X_1,\dots,X_n][/mm] noethersch ist. Und Du
> beginnst auch ganz richtig damit, zu verwenden, dass [mm]I[/mm]
> endlich erzeugt ist. Allerdings machst Du einen Fehler,
> denn es gilt nicht [mm](f_1,\dots,f_r)^m=(f_1^m,\dots,f_r^m)[/mm]
> (findest Du ein Gegenbeispiel?). Tatsächlich empfehle ich,
> dass wir allgemein zeigen:
>
> Ist in einem kommutativen Ring [mm]I\trianglelefteq R[/mm] endlich
> erzeugt und [mm]J\trianglelefteq R[/mm] beliebig, so gilt
> [mm]I\subseteq\sqrt{J}\implies\exists m\ge 1: I^m\le J[/mm].
>
Ich bin jetzt etwas verwirrt. In der Aufgabe ist I ja ein Ideal und keine Untergruppe, kann ich das auch so für Ideale zeigen?
> Der Beweis folgt mittels Induktion nach der Anzahl der
> Erzeuger leicht aus dem nachfolgenden Lemma, das ohne
> jegliche Voraussetzungen Gültigkeit hat, und das Du Dir
> sicher leicht klarmachen kannst:
>
> Sind [mm]I_1,I_2,J\trianglelefteq R[/mm] mit [mm]I_1^{m_1}\le J[/mm] und
> [mm]I_2^{m_2}\le J[/mm], so gilt [mm](I_1+I_2)^{m_1+m_2-1}\subseteq J[/mm].
Der Beweis folgt per Induktion über die Erzeuger von I.
I.A.: n=1:
[mm] (f_1)=I \Rightarrow (f_1)^m [/mm] = I [mm] (=(f_1^m) [/mm] gilt das bei einem Erzeuger auch nicht? Ich konnte leider kein Gegenbeispiel zu dieser Aussage finden...)
Da I [mm] \subset \wurzel{J} [/mm] gilt für m [mm] \ge [/mm] k : [mm] I^m \subset [/mm] J.
I.V.: Gelte dies nun für ein beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] .
I.S.: n -> n+1 :
Gelte nun [mm] I=(f_1,...,f_n,f_(n+1)). [/mm]
Dann ist [mm] I^m [/mm] = [mm] (f_1,...,f_n,f_(n+1))^m. [/mm]
Hier weiß ich dann nicht mehr weiter, weil mir noch nicht ganz klar ist, wieso die Aussage für Ideale gilt, wenn ich sie für Untergruppen zeige. Außerdem sehe ich noch nicht so richtig wo die -1 im Exponenten in dem Lemma herkommt.
Könntest Du mir vielleicht kurz erläutern wie das zusammenhängt?
Liebe Grüße, MinLi
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Ich bin jetzt etwas verwirrt. In der Aufgabe ist I ja ein
> Ideal und keine Untergruppe, kann ich das auch so für
> Ideale zeigen?
[mm] $I\trianglelefteq [/mm] R$ habe ich als gute und sinnvolle Schreibweise für Ideale kennengelernt, und verwende sie daher gerne. Ideale stehen ja zu Ringen, wie Normalteiler zu Gruppen.
> Der Beweis folgt per Induktion über die Erzeuger von I.
> I.A.: n=1:
> [mm](f_1)=I \Rightarrow (f_1)^m[/mm] = I [mm](=(f_1^m)[/mm] gilt das bei
> einem Erzeuger auch nicht? Ich konnte leider kein
> Gegenbeispiel zu dieser Aussage finden...)
Doch, für Hauptideale gilt das ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Mache Dir am besten einmal klar, wie das Produkt zweier Ideale [mm] $(a_1,\dots,a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_1,\dots,b_m)$ [/mm] allgemein beschrieben werden kann. Das ist erstens nützlich und zweitens siehst Du, wieso Deine Formel bei einem Erzeuger gilt und bei mehreren nicht mehr.
> Da I [mm]\subset \wurzel{J}[/mm] gilt für m [mm]\ge[/mm] k : [mm]I^m \subset[/mm]
> J.
>
> I.V.: Gelte dies nun für ein beliebiges n [mm]\in \IN[/mm] .
>
> I.S.: n -> n+1 :
> Gelte nun [mm]I=(f_1,...,f_n,f_(n+1)).[/mm]
> Dann ist [mm]I^m[/mm] = [mm](f_1,...,f_n,f_(n+1))^m.[/mm]
> Hier weiß ich dann nicht mehr weiter, weil mir noch nicht
> ganz klar ist, wieso die Aussage für Ideale gilt, wenn ich
> sie für Untergruppen zeige. Außerdem sehe ich noch nicht
> so richtig wo die -1 im Exponenten in dem Lemma herkommt.
Der Induktionsschritt folgt mithilfe von [mm] $(f_1,\dots,f_{n+1})=(f_1,\dots,f_n)+(f_{n+1})$ [/mm] aus meinem Lemma.
> Könntest Du mir vielleicht kurz erläutern wie das
> zusammenhängt?
Wie Du mein Lemma beweist: Du kennst ja sicherlich einen Beweis, weshalb [mm] $\sqrt{I}$ [/mm] ein Ideal ist (insbesondere die Abgeschlossenheit unter Addition). Lasse Dich davon etwas inspirieren.
> Liebe Grüße, MinLi
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 03.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Hallo,
Also ich habe mir jetzt Folgendes überlegt:
Der Beweis des Lemmas:
Es gilt [mm] (I_1+I_2)^{m_1+m_2} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{m_1+m_2} \vektor{m_1+m_2 \\ i}*I_1^i*I_2^{m_1+m_2-i} [/mm]
Falls nun i [mm] \ge m_1 \Rightarrow I_1^i \in [/mm] J [mm] \Rightarrow [/mm] Die Summe ist ein Element in J
Falls nun i < [mm] m_2 \Rightarrow m_1+m_2-i [/mm] > [mm] m_2 \Rightarrow I_2^{m_1+m_2-i} \in [/mm] J [mm] \Rightarrow [/mm] Die Summe ist ein Element in J
Also gilt die Aussage des Lemmas.
Nun zum Beweis der Aufgabe. Ich beweise dies per Induktion über die Anzahl der Erzeuger von I.
I.A.: n=1: [mm] I=(f_1). [/mm] Da nach Voraussetzung I [mm] \subset \wurzel{J}, [/mm] existiert ein m [mm] \in \IN [/mm] so dass [mm] I^m [/mm] = [mm] (f_1)^m [/mm] = [mm] (f_1^m) \subset [/mm] J.
I.V.: Gelte dies nun für ein beliebiges n [mm] \in \IN.
[/mm]
I.S.: n [mm] \to [/mm] n+1:
Es gilt nun mit den Rechenregeln für Ideale: I = [mm] (f_1,...,f_{n+1} [/mm] ) = [mm] (f_1,...,f_n)+(f_{n+1}).
[/mm]
Nach I.V. und I.A. existieren [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 \in \IN [/mm] sodass [mm] (f_1,...,f_n)^{m_1} \subset [/mm] J und [mm] (f_{n+1}) \subset [/mm] J.
Nach obigem Lemma folgt nun:
[mm] ((f_1,...,f_n) [/mm] + [mm] (f_{n+1}))^{m_1+m_2} \subset [/mm] J
Für [mm] m:=m_1+m_2 [/mm] folgt also:
[mm] I^m \subset [/mm] J.
Stimmt mein Beweis jetzt so?
Liebe Grüße, MinLi
|
|
|
| |
|
Hallo, MinLi!
Das sieht sehr gut aus. 
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Do 03.11.2016 | | Autor: | MinLi |
Super! Vielen lieben Dank für deine Hilfe!
Liebe Grüße, MinLi
|
|
|
|
