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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mi 21.10.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Sei I ein Ideal in A und sei IA[x] das von I in A[x] erzeugte Ideal. |
Hallo.
Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe mit obiger Voraussetzung. Ich habe aber leider die Voraussetzung noch nicht verstanden.
ok, A ist ein Ring, A[x] ist ein Polynomring in einer Variablen x über A, dh. die Koeffizienten der Variablen [mm] x^i [/mm] sind aus A. Heißt "das von I in A[x] erzeugte Ideal" dann, dass die Koeffizienten aus I (in A) sind??? - das ist schon ein Teil der Aufgabe, die ich zeigen soll. Was heißt formal "das von I in A[x] erzeugte Ideal"?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> Sei I ein Ideal in A und sei IA[x] das von I in A[x]
> erzeugte Ideal.
> Hallo.
> Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe mit obiger
> Voraussetzung. Ich habe aber leider die Voraussetzung noch
> nicht verstanden.
> ok, A ist ein Ring, A[x] ist ein Polynomring in einer
> Variablen x über A, dh. die Koeffizienten der Variablen
> [mm]x^i[/mm] sind aus A. Heißt "das von I in A[x] erzeugte Ideal"
> dann, dass die Koeffizienten aus I (in A) sind??? - das ist
> schon ein Teil der Aufgabe, die ich zeigen soll. Was heißt
> formal "das von I in A[x] erzeugte Ideal"?
Na, wie man immer das von irgendwas erzeugte Ideal in einem Ring definiert: es ist das kleinste Ideal von $A[x]$, welches $I$ umfasst. Also der Schnitt aller Ideale von $A[x]$, die $I$ umfassen.
Oder alternativ (das hattet ihr sicher auch): $I A[x] = [mm] \{ \sum_{i=1}^n a_i r_i \mid n \in \IN, a_i \in I, r_i \in A[x] \}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 21.10.2009 | | Autor: | moerni |
aaaah, ok. Danke.
Meine Aufgabe ist jetzt folgende:
Ein Polynom f = [mm] \summe_{i}a_ix^i (a_i \in [/mm] A) liegt genau dann in IA[x], wenn alle Koeffizienten [mm] a_i [/mm] in I liegen.
Mein Lösungsansatz unter Verwendung deines Hinweises ist:
Das von I erzeugte Ideal im Polynomring A[x] ist das kleinste Ideal von A[x], welches I umfasst: IA[x] = [mm] \{\summe_{i=1}^{n}a_ir_i | a_i \in I, r_i \in A[x]\}.
[/mm]
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Ein Polynom f = [mm] \summe_{i}a_ix^i (a_i \in [/mm] A) liegt in IA[x] [mm] \Rightarrow [/mm] f lässt sich schreiben als Summe in der Art f = [mm] \summe_{i=1}^{n}b_ir_i [/mm] mit [mm] b_i \in [/mm] I, [mm] r_i \in [/mm] A[x]. Nehme [mm] b_i:=a_i, r_i:=x^i. [/mm] Dann sind die [mm] a_i \in [/mm] I
[mm] "\Leftarrow" [/mm] f = [mm] \summe_ia_ix^i, a_i \in [/mm] I. Definiere [mm] x^i [/mm] := [mm] r_i. [/mm] Dann [mm] f=\summe_ia_ir_i, [/mm] also f [mm] \in [/mm] IA[x]
Ist das Quatsch? so richtig zufrieden bin ich damit nicht.
grüße, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> aaaah, ok. Danke.
> Meine Aufgabe ist jetzt folgende:
>
> Ein Polynom f = [mm]\summe_{i}a_ix^i (a_i \in[/mm] A) liegt genau
> dann in IA[x], wenn alle Koeffizienten [mm]a_i[/mm] in I liegen.
>
> Mein Lösungsansatz unter Verwendung deines Hinweises ist:
> Das von I erzeugte Ideal im Polynomring A[x] ist das
> kleinste Ideal von A[x], welches I umfasst: IA[x] =
> [mm]\{\summe_{i=1}^{n}a_ir_i | a_i \in I, r_i \in A[x]\}.[/mm]
>
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
Du meinst eher [mm] "$\subseteq$"?
[/mm]
> Ein Polynom f = [mm]\summe_{i}a_ix^i (a_i \in[/mm] A)
> liegt in IA[x] [mm]\Rightarrow[/mm] f lässt sich schreiben als
> Summe in der Art f = [mm]\summe_{i=1}^{n}b_ir_i[/mm] mit [mm]b_i \in[/mm] I,
> [mm]r_i \in[/mm] A[x].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nehme [mm]b_i:=a_i, r_i:=x^i.[/mm] Dann sind die [mm]a_i \in[/mm]
> I
Du hast sowas gegeben, du kannst es dir nicht einfach aussuchen. Schreibe doch [mm] $r_i [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^m a_{ij} x^j$ [/mm] und schau dir dann $f = [mm] \sum_{i=1}^n b_i r_i$ [/mm] an. Dann gib den Koeffizient von [mm] $x^j$ [/mm] in $f$ explizit an und zeige, dass er in $I$ liegt.
> [mm]"\Leftarrow"[/mm] f = [mm]\summe_ia_ix^i, a_i \in[/mm] I. Definiere [mm]x^i[/mm]
> := [mm]r_i.[/mm] Dann [mm]f=\summe_ia_ir_i,[/mm] also f [mm]\in[/mm] IA[x]
Genau.
LG Felix
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